Question

已知关于x的一元二次方程x²+（2k-1）x+k²=0
（1）若原方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；
（2）设x₁，x₂是原方程的两个实数根，且，求k的值．

Answer 1

解：（1）根据题意得△=（2k-1）²-4k²≥0，解得k≤；
（2）根据题意得x₁+x₂=-（2k-1），x₁•x₂=k²，
∵x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂，
∴（2k-1）²-2k²=17，解得k₁=1+，k₂=1-，
∵k≤，
∴k=1-．
分析：（1）根据一元二次方程根的判别式的意义得到△=（2k-1）²-4k²≥0，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到x₁+x₂=-（2k-1），x₁•x₂=k²，再变形x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂，则（2k-1）²-2k²=17，然后解方程得到满足条件的k的值．
点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x₁，x₂，则x₁+x₂=-，x₁•x₂=．也考查了一元二次方程根的判别式．