Question

如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AB于E，连接AD，下列结论：①CD=BD；②DE为⊙O的切线；③△ADE∽△ACD；④AD²=AE•AC，其中正确结论个数

1. A.
   1个
2. B.
   2个
3. C.
   3个
4. D.
   4个

Answer 1

D
分析：由AC为圆的直径可得：∠ADC=90°，即AD与BC垂直，又AB=AC，利用三线合一可得BD=CD；连接OD证明OD⊥DE即可证得DE为⊙O的切线；再有由两对对应角相等得到三角形ADE与三角形ACD相似，根据对应边成比例得到选项④正确，从而得到所有正确选项的个数．
解答：∵AC为圆的直径，
∴∠ADC=90°，
∴AD⊥BC，
又∵AB=AC，
∴BD=CD；
故选项①正确；
连接OD，∵D为BC中点，O为AB中点，
∴DO为△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
又DE⊥AC，∴∠DEA=90°，
∴∠ODE=90°，
∴DE为圆O的切线，选项②正确；
由D为BC中点，且AD⊥BC，
∴AD垂直平分BC，
∴AC=AB，又OA=AB，
∴OA=AC，
∵∠DAC=∠EAD，∠DEA=∠CDA=90°，
∴△ADE∽△ACD，选项③正确；
∴=，即AD²=AE•AB，选项④正确；
则正确结论的个数为4个．
故选D．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，切线的判定，及三角形的中位线定理．证明切线时连接OD是解这类题经常连接的辅助线．