Question

已知抛物线与直线y=kx都经过原点和点E．
（1）k=______；
（2）如图，点P是直线y=kx（x＞0）上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足是点C，交抛物线于点B，过点B作x轴的平行线交直线y=kx于点D，连接OB；若以B、P、D为顶点的三角形与△OBC相似，则点P的坐标是______．

Answer 1

解：（1）∵直线y=kx经过点E（，），
∴k=，
解得k=；

（2）由（1）可知直线解析式为y=x，
设点P的横坐标为x，则点P（x，x），B（x，-x²+2x），
∵BD∥x轴，
∴∠BDP=∠POC，
∴tan∠BDP=tan∠POC=，
即=，
又∠DBP=∠BCO=90°，
①当∠BDP=∠BOC时，两三角形相似，
所以，=，
即=，
整理得，|x-4|=，
所以，x-4=或x-4=-，
解得x=或x=，
当x=时，y=x=×=，
当x=时，y=x=×=，此时点B、P重合，△BPD不存在，
所以，点P（，）；
②∠BDP与∠BOC互余时，∠BDP=∠OBC，两三角形相似，
cot∠BOC=tan∠BDP=，
所以，=，
即=，
整理得，|x-4|=3，
所以，x-4=3或x-4=-3，
解得x=7或x=1，
当x=7时，y=x=×7=，
当x=1时，y=x=×1=，
所以，点P（7，）或（1，），
综上所述，点P的坐标是（，）或（7，）或（1，）．
故答案为：（1）；（2）（，）或（7，）或（1，）．
分析：（1）把点E的坐标代入直线解析式，计算即可求出k值；
（2）设点P的横坐标为x，根据直线解析式表示出点P，根据抛物线解析式表示出点B，根据两直线平行，内错角相等可得∠BDP=∠POC，然后根据∠BDP的正切值求出BP与BD的比值，根据点B的坐标求出∠BOC的正切值，再分①当∠BDP=∠BOC时，两三角形相似，②∠BDP与∠BOC互余时，∠BDP=∠OBC，两三角形相似，两三角形相似，再根据相似三角形对应边成比例列出比例式求解即可．
点评：本题是对二次函数的综合考查，主要涉及待定系数法求一次函数解析式，相似三角形对应边成比例，（2）要注意分情况讨论求解．