Question

如图，在正方形ABCD中，E是AB边上任意一点，BG⊥CE，垂足为点O,交AC于点F，交AD于点G。

（1）       证明：BE=AG ；

（2）       点E位于什么位置时，∠AEF=∠CEB，说明理由。

 

Answer 1

答案：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形

∴∠ABC=∠BAD=90°，∴∠1+∠3=90°，

∵BG⊥CE,∴∠BOC=90°∴∠2+∠3=90°,

∴∠1=∠2  ………………………2分

在△GAB和△EBC中，

∵∠GAB=∠EBC=90°,AB=BC,∠1=∠2

∴△GAB≌△EBC (ASA)  …………4分

∴AG=BE  ………………………… 5分

（2）解：当点E位于线段AB中点时，∠AEF=∠CEB  …… 6分

理由如下：若当点E位于线段AB中点时，则AE=BE,

由（1）可知，AG=BE ∴AG=AE ……………………  7分

∵四边形ABCD是正方形，∴∠GAF=∠EAF=45°…  8分

又∵AF=AF,∴△GAF≌△EAF (SAS)

∴∠AGF=∠AEF  ………………………………………10分

由（1）知，△GAB≌△EBC ∴∠AGF=∠CEB,

∴∠AEF=∠CEB   …………………………………   11分