题目内容

判断下列命题的真假性：

（1）一组对角相等，且一组对角的顶点所连结的对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；

（2）一组对边相等且对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；

（3）一组对角相等且这一组对角的顶点连结的对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形；

（4）一组邻边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；

（5）一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；

（6）一组对角相等，一组对边相等的四边形是平行四边形。

假命题举出反例，真命题进行证明。

答案：
解析：

如图，看（2）（3）（4）（5）（6）的反例，它们都是假命题。

看（1）设四边形ABCD、ÐA=ÐC，对角线相交于O、且OB=OD。

求证：ABCD为平行四边形。

证明：∵ OB=OD，ÐA=ÐC，

∴ 以O为中心，将DABD绕O点旋转180°。

∴ B点与D点结合。

又∵ AOC为直线，∴ A点落在射线OC上的C¢点。

而C¢点可能在OC上，也可能在OC的延长线上，也可能与C点结合。

假定C¢落在OC上，由于ÐA=ÐB¢CD而ÐOC¢B>ÐOCB，ÐOC¢D>ÐOCD，

即ÐBC¢D>ÐOCB+ÐOCD=ÐC，从而出现ÐA>ÐC这与题设ÐA=ÐC矛盾。

同理可证：C¢落在OC的延长线上时，出现ÐA<ÐC，

也与题设ÐA=ÐC矛盾，

∴ C¢与C点重合，即：A与C重合。

练习册系列答案

全优课程达标系列答案

（1）如图（1），点M，N分别在等边△ABC的BC，AC边上，且BM=CN，AM，BN交于点Q．求证：∠BQM=60°．
（2）判断下列命题的真假性：
①若将题（1）中“BM=CN”与“∠BQM=60°”的位置交换，得到的是否仍是真命题？
②若将题（1）中的点M，N分别移动到BC，CA的延长线上，是否仍能得到∠BQM=60°？（如图2）
③若将题（1）中的条件“点M，N分别在正△ABC的BC，AC边上”改为“点M，N分别在正方形ABCD的BC，CD边上”，是否仍能得到∠BQM=60°？（如图3）
在下列横线上填写“是”或“否”：①；②；③__．并对②，③的判断，选择其中的一个给出证明．

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