Question

如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴的正半轴上，，为△的中线，过、两点的抛物线与轴相交于、两点（在的左侧）.

（1）求抛物线的解析式；

（2）等边△的顶点、在线段上，求及的长；

（3）点为△内的一个动点，设，请直接写出的最小值,以及取得最小值时，线段的长.

                              

                                   

                                （备用图）

Answer 1

解：(1）过作⊥于．

   ∵ =，

   ∴ △∽△．

   ∵ 点，，可得 ，

．

   ∵ 为中点，

∴ ．

   ∴ ，．

   ∴ ．

   ∴ 点的坐标为.

∵ 抛物线经过、两点，

∴ .

可得.

∴ 抛物线的解析式为

（2）∵ 抛物线与轴相交于、，在的左侧，

∴ 点的坐标为.

∴ ,

∴ 在△中，,

 .

过点作⊥于，

可得△∽△．

∴ ．

  ∴ ．

∴

∴ .

∵ △是等边三角形,

∴ ．

∴ ．

∴ ,或．

（写出一个给1分）

（3）可以取到的最小值为．

当取得最小值时，线段的长为.