Question

如图，以矩形ABCD的边AB为直径作圆，过C作直线CP切圆于点P，过点P作PQ⊥AB于Q，PQ分别交CD、AC于E、F，记AQ=m，QB=n（m＞n）．
（1）用含m、n的代数式表示PC的长；
（2）求证：直线AC平分线段PQ．

Answer 1

分析：（1）连接PA、PB，由圆周角定理可以得知∠APB=90°利用三角形相似表示出PQ，在直角三角形PEC中利用勾股定理就可以表示出PC．
（2）由PQ⊥AB及四边形ABCD是矩形可知PQ∥BC，而得到三角形相似证明FQ=

1

2

PQ，从而使问题得到解决．

解答：（1）解：连接PA、PB
∵AB是直径，
∴∠APB=90°
设CP=x，则CB=CP=x
∵PQ⊥AB
∴△APQ∽△PBQ
∴PQ²=AQ•QB
∴PQ=

mn

∴PE=

mn

-x，又CE=n
在Rt△PCE中有PC²=PE²+EC²
∴x2=(

mn

-x)2+n2
∴x=

(m+n) mn

2m

；

（2）证明：∵PQ∥CB
∴

FQ

CB

=

AQ

AB

=

m

m+n

∴FQ=

m

m+n

•CB=

m

m+n

•

(m+n) mn

2m

=

mn

2

∴FQ=

1

2

PQ
∴直线AC平分线段PQ．

点评：本题考查了切线的性质，勾股定理，矩形的性质，平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定及性质的运用．