Question

已知：如图，以矩形ABCD的对角线AC的中点O为圆心，OA长为半径作⊙O，⊙O经过B、D两点，过点B作BK⊥AC，垂足为K．过D作DH∥KB，DH分别与AC、AB、⊙O及CB的延长线相交于点E、F、G、H．
（1）求证：AE=CK；
（2）如果AB=a，AD=

1

3

a（a为大于零的常数），求BK的长：
（3）若F是EG的中点，且DE=6，求⊙O的半径和GH的长．

Answer 1

分析：（1）根据ABCD是矩形，求证△BKC≌△ADE即可；
（2）根据勾股定理求得AC的长，根据三角形的面积公式得出

1

2

AB×BC=

1

2

AC×BK，代入即可求得BK．
（3）根据三角形中位线定理可求出EF，再利用△AFD≌△HBF可求出HF，然后即可求出GH；利用射影定理求出AE，再利△AED∽△HEC求证AE=

1

3

AC，然后即可求得AC即可．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠DAE=∠BCK，
∵BK⊥AC，DH∥KB，
∴∠BKC=∠AED=90°，
∴△BKC≌△ADE，
∴AE=CK；

（2）解：∵AB=a，AD=

1

3

a=BC，
∴AC=

AB2+BC2

=

a2+( 1 3 a)2

=

a

3

10

∵BK⊥AC，∠ABC=90°，
∴在Rt△ABC中，由三角形的面积公式得：

1

2

AB×BC=

1

2

AC×BK，
∴a×

1

3

a=

10

3

a×BK，
∴BK=

10

10

a．

（3）解：DG是圆的弦，又有AE⊥GD得GE=ED，
∵DE=6，
∴GE=6，
又∵F为EG中点，
∴EF=

1

2

EG=3，
∵△BKC≌△DEA，
∴BK=DE=6，
∴EF=

1

2

BK，且EF∥BK，
∴△AEF∽△AKB，且相似比为1：2，
∴EF为△ABK的中位线，
∴AF=BF，
又∵∠ADF=∠H，∠DAF=∠HBF=90°，
∴△AFD≌△BFH（AAS），
∴HF=DF=3+6=9，
∴GH=6，
∵DH∥KB，BK⊥AC，四边形ABCD为矩形，
∴∠AEF=∠DEA=90°，
∴∠FAE+∠DAE=∠FAE+∠AFE=90°，
∴∠AFE=∠DAE，
∴△AEF∽△DEA，
∴AE：ED=EF：AE，
∴AE²=EF•ED=3×6=18，
∴AE=3

2

，
∵△AED∽△HEC，
∴

AE

EC

=

ED

HE

=

1

2

，
∴AE=

1

3

AC，
∴AC=9

2

，
则AO=

9 2

2

，
故⊙O的半径是

9 2

2

，GH的长是6．

点评：此题主要考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，垂径定理等知识点，综合性很强，利用学生系统的掌握知识，是一道很典型的题目．