Question

如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，点O在AB上，BD⊥AB，点B是垂足，OD∥AC，连接CD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为10cm，∠A=60°，求CD的长．

Answer 1

【答案】分析：（1）要证CD是⊙O的切线，只要连接OC，再证OC⊥CD即可．
（2）根据切线的性质可得CD=BD，根据勾股定理可得CD的长．
解答：证明：（1）连接CO，
∵OD∥AC，
∴∠COD=∠ACO，∠CAO=∠DOB．
∵∠ACO=∠CAO，
∴∠COD=∠DOB．
又OD=OD，OC=OB．
∴△COD≌△BOD．
∴∠OCD=∠OBD=90°．
∴OC⊥CD，即CD是⊙O的切线．

（2）由（1）可得，△COD≌△BOD，得CD=BD，
∵BD⊥AB，
∴∠OBD=90°．
∵OD∥AC，
∴∠DOB=∠A=60°．
∴∠ODB=30°．
∴CD=BD=10．
点评：本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．同时考查了切线的性质及勾股定理．