Question

如图，在等腰直角三角形ABC中，O是斜边AC的中点，P是斜边AC上的一个动点，D为BC上的一点，且PB=PD，DE⊥AC，垂足为点E．
（1）求证：PE=BO；
（2）设AC=2a，AP=x，四边形PBDE的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据条件可证明Rt△BOP≌Rt△PDE，所以，BO=PE；
（2）PE=AO=BO=OC=a，AP=x，EC=DE=OP=AO-AP=a-x，BC=AB=

2

a，作EF⊥CD，EF=EC•

2

2

，所以可求得y=S_△BPO+S_△BOC-
S_△DOE=a²-

ax

2

-

(a-x)2

2

，（0≤x≤a）．

解答：（1）证明：∠PDB=∠PBD=45°+∠PBO=45°+∠DPC（∠PDB外角）
∴∠PBO=∠DPC．
又∵BP=DP
∴Rt△BOP≌Rt△PDE
∴BO=PE；

（2）解：PE=AO=BO=OC=a，AP=x
EC=DE=OP=AO-AP=a-x
BC=AB=

2

a
作EF⊥CD，EF=EC•

2

2

y=S_△BPO+S_△BOC-S_△DCE
=

a2

2

+

a(a-x)

2

-

(a-x)2

2

=a²-

ax

2

-

(a-x)2

2

．（0≤x≤a）．

点评：主要考查了二次函数的综合运用，利用全等三角形判定和性质求出相等的线段再利用线段的和差关系表示出所求图形的边长及相关线段，利用面积公式求面积是解题的关键．