Question

7．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=8，点D在斜边AB上，分别作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，得四边形DECF．
（1）直接写出图形中的相似三角形；
（2）若点D分AB为3：2两部分，求四边形DECF的面积．

Answer 1

分析 （1）由平行线分三角形得到的新三角形与原三角形相似即可得到结论；
（2）先判断出四边形CEDF是矩形，再求出DE，DF，即可．

解答 解：（1）∵DE⊥AC，
∴∠AED=90°
∵∠C=90°，
∴DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
同理：△DBF∽△ABC
∴△ADE∽△DBF∽△ABC，
（2）∵$\frac{AD}{DB}=\frac{3}{2}$，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{3}{5}$，
∵BC=4，
∵△ADE∽△ABC，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}$，
∴DE=$\frac{AD}{AB}×BC$=$\frac{12}{5}$，
同理：DF=$\frac{16}{5}$，
∵DE∥BC，DF∥AC，
∴四边形CEDF是平行四边形，
∵∠C=90°，
∴平行四边形CEDF是矩形，
S_矩形CEDF=DE×DF=$\frac{192}{25}$．

点评 此题是相似三角形的判定，主要考查了平行四边形的判定，矩形的判定，相似三角形的判定和性质，解本题的关键是判断三角形相似．