Question

如图，已知直角三角形ABC，
（Ⅰ）试作出经过点A，圆心O在斜边AB上，且与边BC相切于点E的⊙O及切点E和圆心O（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）；
（Ⅱ）设（Ⅰ）中所作的⊙O与边AB交于异于点A的另一点D．
求证：
（1）

DE

AE

=

DE

BE

；
（2）EC•BE=AC•BD．

Answer 1

分析：（Ⅰ）作∠BAC的角平分线AE交BC与E，过E点作EO垂直于BC，交AB与O，O即为所求圆心；
（Ⅱ）（1）要证

DE

AE

=

BD

BE

，由组成线段可知只需证明△BDE∽△BEA即可，而∠B为共用角，∠1为弦切角∠4所夹的弧所对的圆周角所以相等，因此有△BDE∽△BEA，即

DE

AE

=

BD

BE

；
（2）要证EC•BE=AC•BD即证

EC

AC

=

BD

BE

，由（1）知

DE

AE

=

BD

BE

，所以需证

EC

AC

=

DE

AE

，即Rt△ACE∽Rt△AED，而在这两个三角形中，都有一个直角，且易证∠1=∠3=∠2，所以可证相似，从而得出所求结论．

解答：（Ⅰ）解：如图所示；

（Ⅱ）证明：连接DE，则∠AED=90°，
（1）∵∠4=∠2
∠B=∠B
∴△BDE∽△BEA
∴

DE

AE

=

BD

BE

；（5分）

（2）∵BC切⊙O于E，
∴OE⊥BC．
又∵AC⊥B，
∴OE∥AC．
∴∠1=∠3．
又易知∠2=∠3，
∴∠1=∠2．
又∵∠C=∠AED=90°，
∴Rt△ACE∽Rt△AED．
∴

EC

AC

=

DE

AE

．（7分）
又由（Ⅰ）知，

DE

AE

=

BD

BE

，

EC

AC

=

BD

BE

，
∴EC•BE=AC•BD．（8分）

点评：此题主要考查了三角形相似和圆之间的关系，难易程度适中．