Question

如图，已知二次函数y=ax²-2ax+c（a＜0）的图象与x轴负半轴交于点A（-1，0），与y轴正半轴交于点B，顶点为P，且OB=3OA，一次函数y=kx+b的图象经过A、B．
（1）求一次函数解析式；
（2）求顶点P的坐标；
（3）平移直线AB使其过点P，如果点M在平移后的直线上，且tan∠OAM=

3

2

，求点M坐标；
（4）设抛物线的对称轴交x轴于点E，连接AP交y轴于点D，若点Q、N分别为两线段PE、PD上的动点，连接QD、QN，请直接写出QD+QN的最小值．

Answer 1

分析：（1）根据抛物线的解析式即可得出B（0，3），根据OB=3OA，可求出OA的长，也就得出了A点的坐标，然后将A、B的坐标代入直线AB的解析式中，即可得出所求；
（2）将（1）得出的A点坐标代入抛物线的解析式中，可求出a的值，也就确定了抛物线的解析式进而可求出P点的坐标；
（3）易求出平移后的直线的解析式，可根据此解析式设出M点坐标（设横坐标，根据直线的解析式表示出纵坐标）．然后过M作x轴的垂线设垂足为E，在构建的直角三角形AME中，可用M点的坐标表示出ME和AE的长，然后根据∠OAM的正切值求出M的坐标．（本题要分M在x轴上方和x轴下方两种情况求解．方法一样．）
（4）作点D关于直线x=1的对称点D′，过点D′作D′N⊥PD于点N，根据垂线段最短求出QD+QN的最小值．

解答：解：（1）∵A（-1，0），
∴OA=1
∵OB=3OA，
∴B（0，3）（1分）
∴图象过A、B两点的一次函数的解析式为：y=3x+3（2分）

（2）∵二次函数y=ax²-2ax+c（a＜0）的图象与x轴负半轴交于点A（-1，0），与y轴正半轴交于点B（0，3），
∴c=3，a=-1，
∴二次函数的解析式为：y=-x²+2x+3（3分）
∴抛物线y=-x²+2x+3的顶点P（1，4）（4分）

（3）设平移后的直线的解析式为：y=3x+m
∵直线y=3x+m过P（1，4），
∴m=1，
∴平移后的直线为y=3x+1
∵M在直线y=3x+1，且
设M（x，3x+1）
①当点M在x轴上方时，有

3x+1

x+1

=

3

2

，
∴x=

1

3

，
∴M1(

1

3

，2)（5分）
②当点M在x轴下方时，有-

3x+1

x+1

=

3

2

，
∴x=-

5

9

，
∴M2(-

5

9

，-

2

3

）（6分）

（4）作点D关于直线x=1的对称点D′，过点D′作D′N⊥PD于点N，
当-x²+2x+3=0时，解得，x=-1或x=3，
∴A（-1，0），
P点坐标为（1，4），
则可得PD解析式为：y=2x+2，
根据ND′⊥PD，
设ND′解析式为y=kx+b，
则k=-

1

2

，
将D′（2，2）代入即可求出b的值，
可得函数解析式为y=-

1

2

x+3，
将两函数解析式组成方程组得：

y=- 1 2 x+3 y=2x+2

，
解得

x= 2 5 y= 14 5

，
故N（

2

5

，

14

5

），
由两点间的距离公式：d=

(2- 2 5 )2+(2- 14 5 )2

=

4 5

5

，
∴所求最小值为

4 5

5

（7分）

点评：本题主要考查了一次函数解析式的确定、二次函数解析式的确定、函数图象的平移等知识点．同时考查了应用轴对称和垂线段最短解决线段和的最小值问题．