Question

【题目】如图，已知抛物线经过原点o和x轴上一点A（4，0），抛物线顶点为E，它的对称轴与x轴交于点D．直线y=﹣2x﹣1经过抛物线上一点B（﹣2，m）且与y轴交于点C，与抛物线的对称轴交于点F．

（1）求m的值及该抛物线对应的解析式；

（2）P（x，y）是抛物线上的一点，若S△ADP=S△ADC，求出所有符合条件的点P的坐标；

（3）点Q是平面内任意一点，点M从点F出发，沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设点M的运动时间为t秒，是否能使以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形．若能，请直接写出点M的运动时间t的值；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）3，；（2）P1（，1），P2（，1），P3（2，﹣1）；（3）t1=，t2=6，t3=，t4=6.5．

【解析】

试题分析：（1）首先求出点B的坐标和m的值，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；

（2）△ADP与△ADC有共同的底边AD，因为面积相等，所以AD边上的高相等，即为1；从而得到点P的纵坐标为1，再利用抛物线的解析式求出点P的纵坐标；

（3）如解答图所示，在点M的运动过程中，依次出现四个菱形，注意不要漏解．针对每一个菱形，分别进行计算，求出线段MF的长度，从而得到运动时间t的值．

试题解析：（1）∵点B（﹣2，m）在直线y=﹣2x﹣1上，∴m=﹣2×（﹣2）﹣1=4﹣1=3，所以，点B（﹣2，3），又∵抛物线经过原点O，∴设抛物线的解析式为y=ax2+bx，∵点B（﹣2，3），A（4，0）在抛物线上，∴，解得：，∴抛物线的解析式为．

（2）∵P（x，y）是抛物线上的一点，∴P（x，），若S△ADP=S△ADC，∵S△ADC=ADOC，S△ADP=AD|y|，又∵点C是直线y=﹣2x﹣1与y轴交点，∴C（0，﹣1），∴OC=1，∴||=1，即=1或=﹣1，解得：x1=，x2=，x3=x4=2，∴点P的坐标为 P1（，1），P2（，1），P3（2，﹣1）；

（3）结论：存在．如图2

∵抛物线的解析式为，∴顶点E（2，﹣1），对称轴为x=2；

点F是直线y=﹣2x﹣1与对称轴x=2的交点，∴F（2，﹣5），DF=5．

又∵A（4，0），∴AE=．

如右图所示，在点M的运动过程中，依次出现四个菱形：

①菱形AEM/span>1Q1．

∵此时EM1=AE=，∴M1F=DF﹣DE﹣DM1=，∴t1=；

②菱形AEOM2．

∵此时DM2=DE=1，∴M2F=DF+DM2=6，∴t2=6；

③菱形AEM3Q3．

∵此时EM3=AE=，∴DM3=EM3﹣DE=﹣1，∴M3F=DM3+DF=（﹣1）+5=，∴t3=；

④菱形AM4EQ4．

此时AE为菱形的对角线，设对角线AE与M4Q4交于点H，则AE⊥M4Q4，∵易知△AED∽△M4EH，∴，即，得M4E=2.5，∴DM4=M4E﹣DE=2.5﹣1=1.5，∴M4F=DM4+DF=1.5+5=6.5，∴t4=6.5．

综上所述，存在点M、点Q，使得以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形；时间t的值为：t1=，t2=6，t3=，t4=6.5．