题目内容
如图，将等腰梯形ABCD放在平面直角坐标系中，使底AB在x轴上，顶点D在y轴上，且A（-3，0），D（0，4），C（4，4），再将梯形ABCD绕点D顺时针方向旋转90°，得到梯形A1B1C1D1．（1）填空：点A1的坐标是
（2）如果将梯形A1B1C1D1向右平移x（x≤7）个单位，求得到的梯形与梯形ABCD重叠部分的面积S与x的函数关系式，并求S的最大值？
（3）探究：当（2）中的S取最大值时，是否存在经过点A且以平移后得到的梯形的中位线所在直线为对称轴的抛物线l（设顶点为P），使△ABP与△CDP的面积之和等于梯形300＜x≤700的面
积？若存在，求出抛物线l的解析式；若不存在，请说明理由．
分析：（1）先画出旋转后的梯形A1B1C1D1，然后观察点A1和点B1的位置即可得出两点坐标；
（2）先分别讨论当x取不同的取值范围时，面积S关于x的函数关系式，然后求出当x=4时，面积S最大；
（3）先求出梯形的面积，然后根据已知条件分别讨论当m的取值范围不同时抛物线的解析式．
（2）先分别讨论当x取不同的取值范围时，面积S关于x的函数关系式，然后求出当x=4时，面积S最大；
（3）先求出梯形的面积，然后根据已知条件分别讨论当m的取值范围不同时抛物线的解析式．
解答：
解：（1）A1（-4，7），B1（-4，-3）；
（2）①当0≤x＜1时，S=4x+6，
②当1≤x＜4时，S=4x+6-
(x-1)2=-
x2+
x+
，
③当4≤x≤7时，S=4(8-x)+6-
(7-x)2=-
x2+
x+
，
∴S=
，
当0≤x＜1时，S=4x+6＜10，
当1≤x≤7时，S=-
(x-4)2+16≤16，
∴当x=4时，S有最大值16；
（3）由（2）得x=4时，S有最大值，故平移后得到的梯形中位线所在直线为x=2．
设P（2，m），又S梯形ABCD=28，
则①当m＜0时，有S△FAB+S△PCD=28，
即
×10(-m)+
×4(4-m)=28，
解得m=-
，
此时l的解析式为：y=
x2-
x-
，
②当0＜m＜4时，有S△PAB+S△PCD=28，
即
•10m+
•4(4-m)=28，
解得：m=
＞4（不合题意，舍去）
③当m＞4时，有S△PAB+S△PCD=28，
即
•10m+
•4(m-4)=28，
解得m=
，
此时l的解析式为y=
x2+
x+
．
解：（1）A1（-4，7），B1（-4，-3）；（2）①当0≤x＜1时，S=4x+6，
②当1≤x＜4时，S=4x+6-
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 16 |
| 3 |
| 16 |
| 3 |
③当4≤x≤7时，S=4(8-x)+6-
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 16 |
| 3 |
| 16 |
| 3 |
∴S=
|
当0≤x＜1时，S=4x+6＜10，
当1≤x≤7时，S=-
| 2 |
| 3 |
∴当x=4时，S有最大值16；
（3）由（2）得x=4时，S有最大值，故平移后得到的梯形中位线所在直线为x=2．
设P（2，m），又S梯形ABCD=28，
则①当m＜0时，有S△FAB+S△PCD=28，
即
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
解得m=-
| 20 |
| 7 |
此时l的解析式为：y=
| 4 |
| 35 |
| 16 |
| 35 |
| 84 |
| 35 |
②当0＜m＜4时，有S△PAB+S△PCD=28，
即
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
解得：m=
| 20 |
| 3 |
③当m＞4时，有S△PAB+S△PCD=28，
即
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
解得m=
| 36 |
| 7 |
此时l的解析式为y=
| 36 |
| 175 |
| 144 |
| 175 |
| 756 |
| 175 |
点评：本题是二次函数的综合题，题中涉及平移、梯形的性质等知识点，解题时要注意数形结合和分类讨论等数学思想的运用，是各地中考的热点和难点，同学们要加强训练，属于中档题．
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