题目内容

如图，将等腰梯形ABCD放在平面直角坐标系中，使底AB在x轴上，顶点D在y轴上，且A（-3，0），D（0，4），C（4，4），再将梯形ABCD绕点D顺时针方向旋转90°，得到梯形A₁B₁C₁D₁．
（1）填空：点A₁的坐标是，点B₁的坐标是．
（2）如果将梯形A₁B₁C₁D₁向右平移x（x≤7）个单位，求得到的梯形与梯形ABCD重叠部分的面积S与x的函数关系式，并求S的最大值？
（3）探究：当（2）中的S取最大值时，是否存在经过点A且以平移后得到的梯形的中位线所在直线为对称轴的抛物线l（设顶点为P），使△ABP与△CDP的面积之和等于梯形300＜x≤700的面积？若存在，求出抛物线l的解析式；若不存在，请说明理由．

解：（1）A₁（-4，7），B₁（-4，-3）；

（2）①当0≤x＜1时，S=4x+6，
②当1≤x＜4时， $\text{[math]}$ ，
③当4≤x≤7时， $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
当0≤x＜1时，S=4x+6＜10，
当1≤x≤7时， $\text{[math]}$ ，
∴当x=4时，S有最大值16；

（3）由（2）得x=4时，S有最大值，故平移后得到的梯形中位线所在直线为x=2．
设P（2，m），又S_梯形ABCD=28，
则①当m＜0时，有S_△FAB+S_△PCD=28，
即 $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ，
此时l的解析式为： $\text{[math]}$ ，
②当0＜m＜4时，有S_△PAB+S_△PCD=28，
即 $\text{[math]}$ ，
解得： $\text{[math]}$ （不合题意，舍去）
③当m＞4时，有S_△PAB+S_△PCD=28，
即 $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ，
此时l的解析式为 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）先画出旋转后的梯形A₁B₁C₁D₁，然后观察点A₁和点B₁的位置即可得出两点坐标；
（2）先分别讨论当x取不同的取值范围时，面积S关于x的函数关系式，然后求出当x=4时，面积S最大；
（3）先求出梯形的面积，然后根据已知条件分别讨论当m的取值范围不同时抛物线的解析式．
点评：本题是二次函数的综合题，题中涉及平移、梯形的性质等知识点，解题时要注意数形结合和分类讨论等数学思想的运用，是各地中考的热点和难点，同学们要加强训练，属于中档题．