Question

如图（1），在矩形ABCD中，把∠B、∠D分别翻折，使点B、D恰好落在对角线AC上的点E、F处，折痕分别为CM、AN，
（1）求证：△ADN≌△CBM；
（2）请连接MF、NE，证明四边形MFNE是平行四边形；四边形MFNE是菱形吗？请说明理由；
（3）点P、Q是矩形的边CD、AB上的两点，连接PQ、CQ、MN，如图（2）所示，若PQ=CQ，PQ∥MN，且AB=4cm，BC=3cm，求PC的长度．

Answer 1

（1）证明：由折叠的性质得出∠DAN=∠NAC，∠BCM=∠ACM，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA，
∴∠DAN=∠BCM，
在Rt△ADN和Rt△CBM中，
∵

AD=BC ∠D=∠B=90° ∠DAN=∠BCM

，
∴△ADN≌△CBM，

（2）连接NE、MF，
∵△ADN≌△CBM，
∴NF=ME，
∵∠NFE=∠MEF，
∴NF∥ME，
∴四边形MFNE是平行四边形，
∵MN与EF不垂直，
∴四边形MFNE不是菱形；

（3）设AC与MN的交点为O，EF=x，作QG⊥PC于G点，
∵AB=4，BC=3，
∴AC=5，
∵AF=CE=BC=3，
∴2AF-EF=AC，即6-x=5，
解得x=1，
∴EF=1，
∴CF=2，
在Rt△CFN中，tan∠DCA=

NF

CF

=

BC

AB

=

3

4

，
解得NF=

3

2

，
∵OE=OF=

1

2

EF=

1

2

，
∴在Rt△NFO中，ON²=OF²+NF²，
∴ON=

10

2

，
∴MN=2ON=

10

，
∵PQ∥MN，PN∥MQ，
∴四边形MQPN是平行四边形，
∴MN=PQ=

10

，
∵PQ=CQ，
∴△PQC是等腰三角形，
∴PG=CG，
在Rt△QPG中，
PG²=PQ²-QG²，即PG=

10-9

=1，
∴PC=2PG=2．