Question

【题目】如图，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点G，E是CD上一点，且BE=DE，延长EB至点P，连结CP，使PC=PE，延长BE与⊙O交于点F，连结BD，FD．

（1）求证：CD=BF；

（2）求证：PC是⊙O的切线；

（3）若tanF=，AG﹣BG=，求ED的值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）

【解析】

（1）连接，由于，，，从而得证；

（2）连接，由于，，从而可得，又因为，从而可知，由于，，所以，从而得证；

（3）连接，易证，所以，即，从而可求出的长度，再由勾股定理可知的长度，由于，，所以，，，从而可求出的值.

（1）连接BC，

∵BE=DE，

∴∠BDE=∠DBE，

在△BCD与△DFB中，

∴△BCD≌△DFB（AAS）

∴CD=BF

（2）连接OC，

∵∠COB=2∠CDB，∠CEB=∠CDB+∠DBE=2∠CDB

∴∠COB=∠CEB，

∵PC=PE，

∴∠COB=∠CEB=∠PCE，

∵AB⊥CD，

∴∠COB+∠OCG=90°，

∴∠PCE+∠OCG=∠PCO=90°，

∴OC⊥CP

∵OC是半径，

∴PC是⊙O的切线，

（3）连接AD，

∵AB是直径，

∴∠ADB=90°，

∵AB⊥CD，

∴=，

∴∠BDG=∠A=∠F

∵tan∠F=

∴tan∠A==，即AG=GD

同理可得：BG=GD，

∴AG﹣BG=GD﹣GD=，

解得：GD=2，

∴CD=2GD=4，

∴BG=

∴由勾股定理可知：BD=

∵∠BCD=∠EDB，∠BDC=∠EBD，

∴△BCD∽△EDB

∴=

∵BC=BD，

∴ED===