Question

如图，已知直线AB：y=

4

3

x+b交x轴于点A（-3，0），交y轴于点B，过点B作BC⊥AB交x轴于点C．
（1）试证明：△ABC∽△AOB；
（2）求△ABC的周长．

Answer 1

分析：（1）根据三角形的判定与性质得出∠ABC=∠AOB，∠A=∠A，AB=BA，即可证出△ABC∽△AOB；
（2）根据直线AB：y=

4

3

x+b交x轴于点A（-3，0），得出B点的坐标，即可求出AB的值，再根据△ABC∽△AOB，得出BC的值，再根据直角三角形的性质得出AC的值，然而求出△ABC的周长．

解答：解：（1）∵BC⊥AB，
∴∠ABC=∠AOB，
∠A=∠A，
AB=BA，
∴△ABC∽△AOB；

（2）∴直线AB：y=

4

3

x+b交x轴于点A（-3，0），
∴b=4，
∴B（0，4）
∴OB=4，
∵A（-3，0），
∴OA=3，
∴AB=5，
∵△ABC∽△AOB，
∴

AB

BC

=

AO

BO

，
∴

5

BC

=

3

4

，
∴BC=

20

3

，
∴AC=

25

3

，
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=5+

20

3

+

25

3

=20．

点评：此题考查了待定系数法求一次函数的解析式；解题的关键是根据相似三角形的性质和直角三角形的性质进行求解．