Question

已知直线y=

1

2

x+b与x轴交于点A（-4，0），与y轴交于点B．
（1）求b的值；
（2）把△AOB绕原点O顺时针旋转90°后，点A落在y轴的A′处，点B若在x轴的B′处．
①求直线A′B′的函数关系式；
②设直线AB与直线A′B′交于点C，矩形PQMN是△AB′C的内接矩形，其中点P，Q在线段AB′上，点M在线段B′C上，点N在线段AC上．若矩形PQMN的两条邻边的比为1：2，试求矩形PQMN的周长．

Answer 1

分析：（1）点A在直线上，直接代入即可得b；
（2）①根据旋转性质确定旋转后A′B′坐标，即可得解析式；
②根据几何图形，确定P、Q、M、N四点的关系即可确定周长．

解答：解：（1）由题意得
把A（-4，0）代入y=

1

2

x+b，
得

1

2

×(-4)+b=0，b=2；（3分）

（2）①由（1）得：y=

1

2

x+2，
令x=0，得y=2，
∴B（0，2）（4分）
由旋转性质可知OA'=OA=4，OB'=OB=2
∴A'（0，4），B'（2，0）（5分）
设直线A'B'的解析式为y=ax+b，
把A'、B'分别代入得：

b′=4 2a+b′=0

，解得

a=-2 b′=4

∴直线A'B'的解析式为y=-2x+4；（7分）
②∵点N在AC上
∴可设N（x，

1

2

x+2）（-4＜x＜0）
∵四边形PQMN为矩形
∴NP=MQ=

1

2

x+2（8分）
（ⅰ）当PN：PQ=1：2时
PQ=2PN=2(

1

2

x+2)=x+4
∴Q（x+4+x，0）
∴M（2x+4，

1

2

x+2）
∵点M在B'C上
∴-2(2x+4)+4=

1

2

x+2
解得x=-

4

3

此时，PQ=

8

3

∴矩形PQMN的周长为2(

4

3

+

8

3

)=8（10分）
（ⅱ）当PN：PQ=2：1时
PQ=

1

2

PN=

1

2

(

1

2

x+2)=

1

4

x+1
∴Q（

1

4

x+1+x，0）
M（

5

4

x+1，

1

2

x+2）
∵点M在B'C上
∴-2(

5

4

x+1)+4=

1

2

x+2
解得x=0
此时PN=2，PQ=1
∴矩形PQMN的周长为2（2+1）=6．（12分）
综上所述，当PN：PQ=1：2时，矩形PQMN的周长为8．
当PQ：PN=1：2时，矩形PQMN的周长为6．（13分）

点评：本题考查待定系数法求一次函数及其坐标特征，并综合几何旋转性质应用，是个综合性比较高的题，要求要熟练掌握函数图象性质．