Question

已知△ABC是直角三角形，∠C=90°，BC=2，AC=5，如图那样把边长分别为x₁，x₂，x₃，…，x_n的n个正方形依次放入△ABC中，则第1个正方形的边长x₁=

 

；第2个正方形的边长x₂=

 

；第n个正方形的边长x_n=

 

（用含n的式子表示，n≥1）．

Answer 1

分析：根据正方形的对边平行证明△BDF∽△BCA，然后利用相似三角形对应边成比例列出比例式即可求出第1个正方形的边长，同理利用前两个小正方形上方的三角形相似，根据相似三角形对应边成比例列出比例式即可求出前两个小正方形的边长的关系，以此类推，找出规律便可求出第n个正方形的边长．

解答：解：如右图所示，
∵四边形DCEF是正方形，
∴DF∥CE，
∴△BDF∽△BCA，
∴DF：AC=BD：BC，
即x₁：5=（2-x₁）：2，
解得x₁=

10

7

，
同理，前两个小正方形上方的三角形相似，
∴

x1

x2

=

2-x1

x1-x2

，
解得x₂=

1

2

x₁²=

50

49

，
同理可求，x₃=

1

2

x₂²=（

1

2

）²x₁³，
…
以此类推，第n个正方形的边长x_n=（

1

2

）^n-1x₁ⁿ=（

1

2

）^n-1（

10

7

）ⁿ．

点评：本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据相似三角形对应边成比例找出后面正方形的边长与第一个正方形的边长的关系．