题目内容

如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠A=90°，P为BC的中点，E、F分别是AB、AC上的动点，∠EPF=45°．
（1）求证：△BPE∽△CFP．
（2）设BE=x，△PEF的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．
（3）当E、F在运动过程中，∠EFP是否可能等于60°？若可能求出x的值，若不可能请说明理由．

解：（1）如图，∵在△ABC中，AB=AC=2，∠A=90°，
∴∠B=∠C=45°．
又∵∠1=180°-∠EPF-∠3，∠EPF=45°，∠C+∠2+∠3=180°，
∴∠1=135°-∠3，∠2=135°-∠3，
∴∠2=∠3，
∴△BPE∽△CFP．

（2）如图，∵在△ABC中，AB=AC=2，∠A=90°，P为BC的中点，
∴BP=CP= $\text{[math]}$ ．
由（1）知△BPE∽△CFP，则 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
解得，CF= $\text{[math]}$ ．
则S_△PEF=S_△ABC-S_△BPE-S_△PFC-S_△AEF
= $\text{[math]}$ ×2×2- $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ x×sinB- $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ ×sinC- $\text{[math]}$ ×（2-x）×（2- $\text{[math]}$ ）
=2- $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ x× $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ×（2-x）×（2- $\text{[math]}$ ）
=-1+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，即y=-1+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ （1≤x≤2）；

（3）当E、F在运动过程中，∠EFP可能等于60°．理由如下：
假设当E、F在运动过程中，∠EFP是等于60°．
如图，过点E作EM⊥FP于点M．
设FM=a．
在Rt△EMF中，EM= $\text{[math]}$ a．
在Rt△EMP中，得到PM= $\text{[math]}$ a，EP= $\text{[math]}$ a，
则 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∵△BPE∽△CFP，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴x=3- $\text{[math]}$ ．
∵1≤x≤2，
∴x=3- $\text{[math]}$ 符合题意，
∴当E、F在运动过程中，∠EFP可能等于60°．
分析：（1）由等腰直角三角形的性质求得∠B=∠C=45°；然后由三角形内角和定理、邻补角的定义求得∠BPE=∠CFP，则由“两角法”证得结论；
（2）S_△PEF=S_△ABC-S_△BPE-S_△PFC-S_△AEF；
（3）利用反证法证明．假设当E、F在运动过程中，∠EFP是等于60°．如图，过点E作EM⊥FP于点M．设FM=a．构造两个直角三角形，通过解图中的两个直角三角形分别求得EM= $\text{[math]}$ a．PM= $\text{[math]}$ a，EP= $\text{[math]}$ a，则 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；再利用（1）中的全等三角形的对应边成比例得到 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，解得x的值符合（2）中的取值范围时，假设成立．反之，假设不成立．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质．在利用相似三角形的对应边成比例来解题时，一定要找准“对应边”．