Question

如图①，在正方形ABCD中，点E、F分别为边BC、CD的中点，AF、DE相交于点G，可以证明①AF＝DE　②AF⊥DE．

(1)如图②，若点E、F不是正方形ABCD的边BC、CD的中点，但满足CE＝DF．则结论①AF＝DE　②AF⊥DE是否仍然成立？(请直接回答“成立”或“不成立”，不必证明)

(2)如图③，若点E、F分别在正方形ABCD的边CB的延长线和DC的延长线上，且CE＝DF．则结论①AF＝DE　②AF⊥DE是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；

(3)如图④，在(2)的基础上，连接AE和EF，若点M、N、P、Q分别为AE、EF、FD、AD的中点，请判断四边形MNPQ是“矩形、菱形、正方形、等腰梯形”中的哪一种？并写出证明过程．

Answer 1

答案：
解析：

　　(1)结论①AF＝DE，结论②AF⊥DE均成立(1分)

　　(2)结论①AF＝DE，结论②AF⊥DE均成立(2分)

　　证明：∵四边形ABCD是正方形

　　∴∠ADF＝∠DCE＝90°，AD＝DC(3分)

　　又∵DF＝CE　　∴△ADF≌△DCE

　　∴AF＝DE，∠F＝∠E(4分)

　　又∵∠E＋∠EDC＝90°　　∴∠F＋∠EDC＝90°

　　∴∠DGF＝90°　　∴AF⊥DE(5分)

　　(3)四边形MNPQ是正方形(6分)

　　证明：∵AM＝ME，AQ＝QD　　∴MQ//ED，(7分)

　　同理NP//ED，　　∴

　　∴四边形MNPQ是平行四边形(8分)

　　∵ME＝MA，NE＝NF　　∴MN//AF，

　　又∵AF＝ED　　∴MQ＝MN　　∴MNPQ是菱形(9分)

　　∵AF⊥DE，MQ//ED　　∴AF⊥MQ

　　又∵MN//AF　　∴MN⊥MQ

　　∴∠QMN＝90°　　∴菱形MNPQ是正方形(10分)