Question

如图，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点C与点A重合，折痕交AD于点E、交BC于点F，连接AF、CE.

(1)求证：四边形AFCE为菱形；

(2)设AE＝a，ED＝b，DC＝c.请写出一个a、b、c三者之间的数量关系式．

Answer 1

分析　(1)由矩形ABCD与折叠的性质，易证得△CEF是等腰三角形，即CE＝CF，即可证得AF＝CF＝CE＝AE，即可得四边形AFCE为菱形．

(2)由折叠的性质，可得CE＝AE＝a，在Rt△DCE中，利用勾股定理即可求得：a、b、c三者之间的数量关系式为：a²＝b²＋c².(答案不唯一)

(1)证明　∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，∴∠AEF＝∠EFC.

由折叠的性质，可得：∠AEF＝∠CEF，

AE＝CE，AF＝CF，∴∠EFC＝∠CEF.

∴CF＝CE.

∴AF＝CF＝CE＝AE.

∴四边形AFCE为菱形．

 (2)解　a、b、c三者之间的数量关系式为：

a²＝b²＋c².理由如下：

由折叠的性质，得：CE＝AE.

∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝90°.

∵AE＝a，ED＝b，DC＝c，∴CE＝AE＝a.

在Rt△DCE中，CE²＝CD²＋DE²，

∴a、b、c三者之间的数量关系式可写为：

a²＝b²＋c².