Question

如图，已知抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于点C．
【小题1】求A、B、C三点的坐标．
【小题2】过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积．
【小题3】在轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似．若存在，直接写出所有满足要求的M点的坐标；否则，请说明理由．

Answer 1

【小题1】令，得  解得
令，得
∴ A   B   C  ..................................3分
【小题1】∵OA=OB=OC=   ∴BAC=ACO=BCO=
∵AP∥CB，       ∴PAB=

过点P作PE轴于E，则APE为等腰直角三角形
令OE=，则PE= ∴P
∵点P在抛物线上 ∴ 
解得，（不合题意，舍去）
∴PE=
∴四边形ACBP的面积=AB•OC+AB•PE=
【小题1】满足要求的M点有三个，（－2，0）、（，0）、（4，0）.

解析【小题1】抛物线与x轴的交点，即当y=0，C点坐标即当x=0，分别令y以及x为0求出A，B，C坐标的值；
【小题1】四边形ACBP的面积=△ABC+△ABP，由A，B，C三点的坐标，可知△ABC是直角三角形，且AC=BC，则可求出△ABC的面积，根据已知可求出P点坐标，可知AP的长度，以及点B到直线的距离，从而求出△ABP的面积，则就求出四边形ACBP的面积；
【小题1】假设存在这样的点M，两个三角形相似，根据题意以及上两题可知，∠PAC∠和∠MGA是直角，只需证明或即可．设M点坐标，根据题中所给条件可求出线段AG，CA，MG，CA的长度，然后列等式，分情况讨论，求解．