题目内容
（2011•成华区二模）如图（1），抛物线C：y=x2+bx+c与x轴正半轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，与y轴交于点C（0，2），已知x1-2x2=-3．
（1）求抛物线C的解析式；
（2）连接AC．若点P在抛物线C的对称轴上，求使△APC为等腰三角形的点P的坐标；
（3）将图（1）中的抛物线C向下平移6个单位得到图（2）所示的抛物线F．若点M是抛物线F上B1、C1间的一个动点（不与B1、C1重合），试问是否存在点M使得四边形A1B1MC1的面积最大？若存在，求出点M的坐标和最大面积；若不存在，请说明理由．
（1）求抛物线C的解析式；
（2）连接AC．若点P在抛物线C的对称轴上，求使△APC为等腰三角形的点P的坐标；
（3）将图（1）中的抛物线C向下平移6个单位得到图（2）所示的抛物线F．若点M是抛物线F上B1、C1间的一个动点（不与B1、C1重合），试问是否存在点M使得四边形A1B1MC1的面积最大？若存在，求出点M的坐标和最大面积；若不存在，请说明理由．
分析：（1）由点C的坐标不难得到c的值，而抛物线与x轴交于A、B两点，那么x1、x2必为方程x2+bx+c=0的两根，由根与系数的关系可知x1x2=c，联立题干中的x1、x2关系式，解方程组即可求出A、B两点的坐标，再利用待定系数法确定函数的解析式．
（2）抛物线的对称轴易知，首先设出点P的坐标，从而能得到AP、CP、AC三边长，然后分：①AP=CP、②AP=AC、③CP=AC三种情况，列等式求解．
（3）先求出平移后的抛物线解析式，进一步能求出点A1、B1、C1三点坐标；通过图示不难看出，四边形A1B1MC可分作△A1C1B1、△C1MB1两部分，△A1C1B1的面积是定值，关键是求出△C1MB1的面积表达式，首先过点M作x轴的垂线，交直线B1C1于点N，那么△B1MC1的面积可由（
×OB1×MN）求得，由此求得关于四边形A1C1MB1的面积与点M横坐标的函数关系式，再根据函数的性质求解即可．
（2）抛物线的对称轴易知，首先设出点P的坐标，从而能得到AP、CP、AC三边长，然后分：①AP=CP、②AP=AC、③CP=AC三种情况，列等式求解．
（3）先求出平移后的抛物线解析式，进一步能求出点A1、B1、C1三点坐标；通过图示不难看出，四边形A1B1MC可分作△A1C1B1、△C1MB1两部分，△A1C1B1的面积是定值，关键是求出△C1MB1的面积表达式，首先过点M作x轴的垂线，交直线B1C1于点N，那么△B1MC1的面积可由（
| 1 |
| 2 |
解答：解：（1）∵抛物线C：y=x2+bx+c与y轴交于C（0，2），∴c=2；
依题意，抛物线C：y=x2+bx+2与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，则：
x1、x2是方程x2+bx+2=0的两个根，可得：x1•x2=2…①；
而x1-2x2=-3，即x1=2x2-3，代入①，得：（2x2-3）x2=2，解得 x2=2（负值舍去）
则 x1=1，∴A（1，0）、B（2，0）；
可求得抛物线的解析式：y=x2-3x+2．
（2）依题意，设P（
，y），已知：A（1，0）、C（0，2），有：
AP2=y2+
、AC2=5、PC2=y2-4y+
；
若△APC是等腰三角形，有三种情况：
①AP=AC，得：
y2+
=5，解得 y=±
；
②AP=PC，得：
y2+
=y2-4y+
，解得 y=
；
③AC=PC，得：
y2-4y+
=5，解得 y=
；
∴点P的坐标为（
，
）、（
，-
）、（
，
）、（
，
）、（
，
）．
（3）由（1）知：抛物线C：y=x2-3x+2=（x-
）2-
，向下平移6个单位后，得：
抛物线F：y=（x-
）2-
=（x-
）2-
-6=x2-3x-4=（x+1）（x-4）；
∴A1（-1，0）、B1（4，0）、C1（0，-4）．
易知，直线B1C1：y=x-4，过点M作MN⊥x轴，交直线B1C1于N，如右图；
设点M（m，m2-3m+2），则 N（m，m-4），MN=m-4-（m2-3m+2）=-m2+4m，
四边形A1C1MB1的面积：S=S△A1C1B1+S△C1MB1=
×5×4+
×4×（-m2+4m）=-2（m-2）2+18；
∴存在使四边形A1C1MB1面积最大的点M，且点M的坐标为（2，2），四边形的最大面积为18．
依题意，抛物线C：y=x2+bx+2与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，则：
x1、x2是方程x2+bx+2=0的两个根，可得：x1•x2=2…①；
而x1-2x2=-3，即x1=2x2-3，代入①，得：（2x2-3）x2=2，解得 x2=2（负值舍去）
则 x1=1，∴A（1，0）、B（2，0）；
可求得抛物线的解析式：y=x2-3x+2．
（2）依题意，设P（
| 3 |
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AP2=y2+
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| 4 |
| 25 |
| 4 |
若△APC是等腰三角形，有三种情况：
①AP=AC，得：
y2+
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| 4 |
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| 2 |
②AP=PC，得：
y2+
| 1 |
| 4 |
| 25 |
| 4 |
| 3 |
| 2 |
③AC=PC，得：
y2-4y+
| 25 |
| 4 |
4±
| ||
| 2 |
∴点P的坐标为（
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| 2 |
| ||
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| ||
| 2 |
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| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
4+
| ||
| 2 |
| 3 |
| 2 |
4-
| ||
| 2 |
（3）由（1）知：抛物线C：y=x2-3x+2=（x-| 3 |
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抛物线F：y=（x-
| 3 |
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∴A1（-1，0）、B1（4，0）、C1（0，-4）．
易知，直线B1C1：y=x-4，过点M作MN⊥x轴，交直线B1C1于N，如右图；
设点M（m，m2-3m+2），则 N（m，m-4），MN=m-4-（m2-3m+2）=-m2+4m，
四边形A1C1MB1的面积：S=S△A1C1B1+S△C1MB1=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴存在使四边形A1C1MB1面积最大的点M，且点M的坐标为（2，2），四边形的最大面积为18．
点评：题目主要考查了函数解析式的确定、二次函数与一元二次方程的联系、等腰三角形的判定和性质以及图形面积的解法等知识；（3）题在不确定等腰三角形的腰和底的情况下要进行分类讨论；（4）题的解法较多，除解答部分的方法外，还可以过点M作x轴的垂线，将四边形A1C1MB1分成两个三角形以及一个梯形来解等方法．
练习册系列答案
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