Question

如图，等边△ABC中，AB=6，将一直角三角板DEF的60°角的顶点E置于边BC上移动（不与B、C重合），移动过程中，始终满足直角边DE经过点A，斜边EF交AC于点G．
（1）求证：△ABE∽△ECG；
（2）探究：在点E移动过程中，两三角形重叠部分能否构成等腰三角形？
（3）当线段AG最短时，求重叠部分的面积．

Answer 1

（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=∠AEG=60°，
∴∠AEB+∠CEG=120°，∠BAE+∠AEB=120°，
∴∠BAE=∠CEG，
∵∠B=∠C，
∴△ABE∽△ECG；

（2）解：在点E移动过程中，两三角形重叠部分不能构成等腰三角形，
理由是：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=∠BAC=60°，
∵∠AEG=60°，∠AGE＞∠C，
∴∠AGE＞∠AEG，
∴AE＞AG，即AE和AG不相等；
∵∠EAG＜∠BAC，∠AGE＞∠C，∠BAC=∠C=60°，
∴∠EAG＜∠AGE，
∴AE＞EG，即AE和EG不相等；
∵∠EAG＜∠BAC，∠BAC=∠AEG=60°，
∴∠AEG＜∠EAG，
∴AG＞EG，即AG和EG不相等，
即在点E移动过程中，两三角形重叠部分不能构成等腰三角形；

（3）解：设BE=x，
∵△ABE∽△ECG，
∴=，
∴=，
∴CG=-x²+x=-（x-3）²+，
∴当x=3时，AG最短为4.5，
又∵当BE=3时，点E为BC的中点，
∴AE⊥BC，
∴∠AEC=90°，
∵∠AEF=60°=∠C，
∴∠CEG=30°，
∴∠EGC=180°-60°-30°=90°，
∴EF⊥AC，
∴EG=CE•sin60°=，
∴S_△AEG=××=．
分析：（1）根据等边三角形的性质得出∠B=∠C=∠AEG=60°，求出∠BAE=∠CEG即可；
（2）在点E移动过程中，两三角形重叠部分不能构成等腰三角形，分为三种情况讨论即可；
（3）设BE=x，根据△ABE∽△ECG求出CG=-x²+x=-（x-3）²+，得出当x=3时，AG最短为4.5，求出EG=，根据三角形面积求出即可．
点评：本题考查了三角形相似的判定与性质，解直角三角形，等腰三角形的判定，三角形的内角和定理等知识点的应用，主要考查学生推理和计算能力，综合性比较强，难度偏大，注意：相似三角形对应边的比相等．