Question

已知抛物线y=-x²-x+m与x轴有两个不同的交点A、B，抛物线的顶点为C．求是否存在实数m，使△ABC为等腰直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：设A、B的坐标为（x₁，0），（x₂，0），
由-x²-x+m=0，有x₁+x₂=-，x₁•x₂=-m，
∴|AB|=|x₁-x₂|===，
又∵-=-=-，=，
∴顶点C的坐标为（-，），
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴||=|AB|=，
∴m=1．
分析：令y=0，得到关于x的一元二次方程，求出两根之和与两根之积表达式，然后求出AB的距离，求出函数的顶点坐标，利用等腰直角三角形的性质，令顶点纵坐标的绝对值等于AB的一半即可得到关于m的方程．若能求出m的值，则m的值存在，否则不存在．
点评：本题考查了二次函数综合题，涉及函数与方程的关系、等腰直角三角形的性质、二次函数的最值等，要综合分析，认真解答．