Question

如图，在平面直角坐标系中，已知点Ａ坐标为（2，4），直线x＝２与x轴相交于点B，连结OA，抛物线y=x²从点O沿OA方向平移，与直线x=2交于点P，顶点M到A点时停止移动．

（1）求线段OA所在直线的函数解析式；

（2）设抛物线顶点M的横坐标为m,

  ①用m的代数式表示点P的坐标；

  ②当m为何值时，线段PB最短；

（3）当线段PB最短时，相应的抛物线上是否存在点Q，使△QMA的面积与△PMA的面积相等，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）设所在直线的函数解析式为，

∵（2，4），

∴, ,

∴所在直线的函数解析式为

（2）①∵顶点M的横坐标为，且在线段上移动，

 ∴（0≤≤2）.                                     

∴顶点的坐标为(,).

∴抛物线函数解析式为.

∴当时，（0≤≤2）.

∴点的坐标是（2，）  -

②  ∵==， 又∵0≤≤2，

∴当时，PB最短.  

（3）当线段最短时，此时抛物线的解析式为.

假设在抛物线上存在点，使.

设点的坐标为（，）.

①当点落在直线的下方时，过作直线//，交轴于点，

∵，，

∴，∴，∴点的坐标是（0，）.

∵点的坐标是（2，3），∴直线的函数解析式为.

∵，∴点落在直线上.∴=.

解得，即点（2，3）.∴点与点重合.

∴此时抛物线上不存在点，使△与△的面积相等.

②当点落在直线的上方时，

作点关于点的对称称点，过作直线//，交轴于点，

∵，∴，∴、的坐标分别是（0，1），（2，5），

∴直线函数解析式为.

∵，∴点落在直线上.

∴=.

解得：，.

代入，得，.

∴此时抛物线上存在点，

使△与△的面积相等. 

综上所述，抛物线上存在点，

 使△与△的面积相等.