Question

如图，直线与轴相交于点，与轴相交于点，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿直线向点移动。同时，将直线以每秒个单位长度的速度向上平移，交于点，交于点，设运动时间为秒。

⑴证明：在运动过程中，四边形总是平行四边形；

⑵当取何值时，四边形为菱形？请指出此时以点为圆心、长为半径的圆与直线的位置关系并说明理由。

Answer 1

解：⑴∵直线与轴相交于点，与轴相交于点

∴直线的解析式为，即

∵将直线以每秒个单位长度的速度向上平移秒得到直线

∴，∴，∴直线的解析式为

∵在直线中，点在轴上，∴令，则，∴，

∴在中，

∵点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿直线向点移动秒

∴，∴，又∵，∴，

∵，，∴在运动过程中，四边形总是平行四边形；

⑵欲使四边形为菱形，只需在中满足条件，即，解得

∴当时，四边形为菱形；

此时以点为圆心、长为半径的圆与直线相切，理由如下：

∵，∴，∴

∵，，∴，，∴在中，

过点作于点，则

∵在和中，且，∴∽

∴，即，∴，∴点到直线的距离等于的半径

∴以点为圆心、长为半径的圆与直线相切。

另解：（在证明与直线相切时，也可利用等积法求得点到直线的距离。）

设点到直线的距离为，则，连结，

∵且、

∴，解得，∴点到直线的距离与的半径相等，即

∴以点为圆心、长为半径的与直线相切。

再解：（巧用“菱形对角线的性质”和“角平分线性质定理”）

连结，则是菱形的对角线，∴平分

∵，∴是点到直线的距离，

∴点到直线的距离＝点到直线的距离

∴以点为圆心、长为半径的圆与直线相切。