Question

如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=2cm，AC=4cm．动点P从点A出发，沿AB方向以1cm/s的速度向点B运动，动点Q从点B同时出发，沿BA方向以1cm/s的速度向点A运动．当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，以AP为一边向上作正方形APDE，过点Q作QF∥BC，交AC于点F．设点P的运动时间为ts，正方形和梯形重合部分的面积为Scm²．
（1）当t=______s时，点P与点Q重合；
（2）当t=______s时，点D在QF上；
（3）当点P在Q，B两点之间（不包括Q，B两点）时，求S与t之间的函数关系式．

Answer 1

【答案】分析：（1）当点P与点Q重合时，此时AP=BQ=t，且AP+BQ=AB=2，由此列一元一次方程求出t的值；
（2）当点D在QF上时，如答图1所示，此时AP=BQ=t．由相似三角形比例线段关系可得PQ=t，从而由关系式AP+PQ+BQ=AB=2，列一元一次方程求出t的值；
（3）当点P在Q，B两点之间（不包括Q，B两点）时，运动过程可以划分为两个阶段：
①当1＜t≤时，如答图3所示，此时重合部分为梯形PDGQ．先计算梯形各边长，然后利用梯形面积公式求出S；
②当＜t＜2时，如答图4所示，此时重合部分为一个多边形．面积S由关系式“S=S_{正方形APDE}-S_△AQF-S_△DMN”求出．
解答：解：（1）当点P与点Q重合时，AP=BQ=t，且AP+BQ=AB=2，
∴t+t=2，解得t=1s，
故填空答案：1．

（2）当点D在QF上时，如答图1所示，此时AP=BQ=t．
∵QF∥BC，APDE为正方形，∴△PQD∽△ABC，
∴DP：PQ=AC：AB=2，则PQ=DP=AP=t．
由AP+PQ+BQ=AB=2，得t+t+t=2，解得：t=．
故填空答案：．

（3）当P、Q重合时，由（1）知，此时t=1；
当D点在BC上时，如答图2所示，此时AP=BQ=t，BP=t，求得t=s，进一步分析可知此时点E与点F重合；
当点P到达B点时，此时t=2．
因此当P点在Q，B两点之间（不包括Q，B两点）时，其运动过程可分析如下：
①当1＜t≤时，如答图3所示，此时重合部分为梯形PDGQ．
此时AP=BQ=t，∴AQ=2-t，PQ=AP-AQ=2t-2；
易知△ABC∽△AQF，可得AF=2AQ，EF=2EG．
∴EF=AF-AE=2（2-t）-t=4-3t，EG=EF=2-t，
∴DG=DE-EG=t-（2-t）=t-2．
S=S_梯形PDGQ=（PQ+DG）•PD，
=[（2t-2）+（t-2）]•t，
=t²-2t；
②当＜t＜2时，如答图4所示，此时重合部分为一个多边形．
此时AP=BQ=t，∴AQ=PB=2-t，
易知△ABC∽△AQF∽△PBM∽△DNM，可得AF=2AQ，PM=2PB，DM=2DN，
∴AF=4-2t，PM=4-2t．
又∵DM=DP-PM=t-（4-2t）=3t-4，
∴DN=（3t-4）=t-2，DM=3t-4．
S=S_{正方形APDE}-S_△AQF-S_△DMN=AP²-AQ•AF-DN•DM
=t²-（2-t）（4-2t）-×（3t-4）×（3t-4）
=-t²+10t-8．
综上所述，当点P在Q，B两点之间（不包括Q，B两点）时，S与t之间的函数关系式为：
S=．
点评：本题是运动型综合题，涉及到动点与动线问题．第（1）（2）问均涉及动点问题，列方程即可求出t的值；第（3）问涉及动线问题，是本题难点所在，首先要正确分析动线运动过程，然后再正确计算其对应的面积S．本题难度较大，需要同学们具备良好的空间想象能力和较强的逻辑推理能力．