Question

16．如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+8分别交两轴于点A、B，点C为线段AB的中点，点D在线段OA上，且CD的长是方程$\frac{2}{x+1}=\frac{1}{x-2}$的根．
（1）求点D的坐标；
（2）求直线CD的解析式；
（3）在平面内是否存在这样的点F，使以A、C、D、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，不必说明理由．

Answer 1

分析 （1）首先根据直线y=-x+8分别交两轴于点A、B，可得点A的坐标是（8，0），点B的坐标是（0，8）；然后根据点C为线段AB的中点，可得点C的坐标是（4，4）；最后求出CD的长，即可求出点D的坐标．
（2）根据题意，分两种情况：①当点D的坐标是（1，0）时；②当点D的坐标是（7，0）时；然后应用待定系数法，求出直线CD的解析式即可．
（3）根据题意，分两种情况：①当直线CD的解析式是y=$\frac{4}{3}$x-$\frac{4}{3}$时；②当直线CD的解析式是y=-$\frac{4}{3}$x+$\frac{28}{3}$时；然后根据平行四边形的性质，求出点F的坐标即可．

解答 解：（1）∵直线y=-x+8分别交两轴于点A、B，
∴点A的坐标是（8，0），点B的坐标是（0，8），
∵点C为线段AB的中点，
∴点C的坐标是（4，4），
由$\frac{2}{x+1}=\frac{1}{x-2}$，
解得x=5，
∴CD=5，
设点D的坐标是（m，0）（m＞0），
则$\sqrt{{（m-4）}^{2}{+4}^{2}}=5$，
解得m=1或m=7，
∴点D的坐标是（1，0）或（7，0）．

（2）①当点D的坐标是（1，0）时，
设直线CD的解析式是y=ax+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{a+b=0}\\{4a+b=4}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{4}{3}}\\{b=-\frac{4}{3}}\end{array}\right.$
∴直线CD的解析式是y=$\frac{4}{3}$x-$\frac{4}{3}$．
②当点D的坐标是（7，0）时，
设直线CD的解析式是y=cx+d，
则$\left\{\begin{array}{l}{7c+d=0}\\{4c+d=4}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{c=-\frac{4}{3}}\\{d=\frac{28}{3}}\end{array}\right.$
∴直线CD的解析式是y=-$\frac{4}{3}$x$+\frac{28}{3}$．

（3）存在点F，使以A、C、D、F为顶点的四边形为平行四边形．
①当直线CD的解析式是y=$\frac{4}{3}$x-$\frac{4}{3}$时，
设AF所在的直线的解析式是y=$\frac{4}{3}x$+m，
∵点A的坐标是（8，0），
∴$\frac{4}{3}×8+m=0$，
解得m=-$\frac{32}{3}$，
∴AF所在的直线的解析式是y=$\frac{4}{3}x$-$\frac{32}{3}$．
Ⅰ、如图1，，
设点F的坐标是（p，$\frac{4}{3}p-\frac{32}{3}$），
则DF的中点E的坐标是（$\frac{p+1}{2}，\frac{2}{3}p-\frac{16}{3}$），
∵点A的坐标是（8，0），点C的坐标是（4，4），
∴AC的中点E的坐标是（6，2），
∴$\frac{p+1}{2}$=6，
解得p=11，
∴点F的坐标是（11，4）．
Ⅱ、如图2，，
设点F的坐标是（p，$\frac{4}{3}p-\frac{32}{3}$），
则CF的中点G的坐标是（$\frac{p+4}{2}，\frac{2}{3}p-\frac{10}{3}$），
∵点A的坐标是（8，0），点D的坐标是（1，0），
∴AD的中点G的坐标是（4.5，0），
∴$\frac{p+4}{2}=4.5$，
解得p=5，
∴点F的坐标是（5，-4）．
Ⅲ、如图3，当CF∥AD时，，
设点F的坐标是（p，4），
则AF的中点E的坐标是（$\frac{p+8}{2}$，2），
∵点D的坐标是（1，0），点C的坐标是（4，4），
∴CD的中点E的坐标是（2.5，2），
∴$\frac{p+8}{2}$=2.5，
解得p=-3，
∴点F的坐标是（-3，4）．

②当直线CD的解析式是y=-$\frac{4}{3}$x+$\frac{28}{3}$时，
设AF所在的直线的解析式是y=-$\frac{4}{3}x$+n，
∵点A的坐标是（8，0），
∴$-\frac{4}{3}×8+n=0$，
解得n=$\frac{32}{3}$，
∴AF所在的直线的解析式是y=-$\frac{4}{3}x$+$\frac{32}{3}$．
Ⅰ、如图4，，
设点F的坐标是（p，-$\frac{4}{3}p+\frac{32}{3}$），
则DF的中点M的坐标是（$\frac{p+7}{2}，-\frac{2}{3}p+\frac{16}{3}$），
∵点A的坐标是（8，0），点C的坐标是（4，4），
∴AC的中点M的坐标是（6，2），
∴$\frac{p+7}{2}$=6，
解得p=5，
∴点F的坐标是（5，4）．
Ⅱ、如图5，，
设点F的坐标是（p，-$\frac{4}{3}p+\frac{32}{3}$），
则CF的中点N的坐标是（$\frac{p+4}{2}$，$-\frac{2}{3}p+\frac{22}{3}$），
∵点A的坐标是（8，0），点D的坐标是（7，0），
∴AD的中点N的坐标是（7.5，0），
∴$\frac{p+4}{2}=7.5$，
解得p=11，
∴点F的坐标是（11，-4）．
Ⅲ、如图6，当CF∥AD时，，
设点F的坐标是（p，4），
则AF的中点E的坐标是（$\frac{p+8}{2}$，2），
∵点D的坐标是（7，0），点C的坐标是（4，4），
∴CD的中点E的坐标是（5.5，2），
∴$\frac{p+8}{2}$=5.5，
解得p=3，
∴点F的坐标是（3，4）．
综上，可得
点F的坐标是（11，4），（5，-4），（-3，4），（5，4），（11，-4）或（3，4）．

点评 （1）此题主要考查了一次函数综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，考查了从已知函数图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力．
（2）此题还考查了直线解析式的求法，以及一元一次方程的求解方法，要熟练掌握．
（3）此题还考查了平行四边形的性质和应用，要熟练掌握．