Question

如图，在直角坐标平面上，点A（x₁，-3）在第三象限，点B（x₂，-1）在第四象限，线段AB交y轴于点D．∠AOB=90°，S_△AOB=9，设∠AOD=α，求sinα•cosα的值．

Answer 1

分析：首先过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BE⊥x轴于E，易得∠OAC=∠AOD=α，又由∠AOB=90°，易得∠BOE=∠AOD=α，即可得在Rt△AOC中，cosα=

AC

OA

，在Rt△BOE中，sinα=

BE

OB

，又由S_△AOB=9，求得OA•OB的值，继而求得sinα•cosα的值．

解答：解：过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BE⊥x轴于E，
∴AC∥y轴，
∴∠OAC=∠AOD=α，
∵∠AOB=90°，
∴∠AOD+∠BOD=90°，
∵∠BOD+∠BOE=90°，
∴∠BOE=∠AOD=α，
在Rt△AOC中，cosα=

AC

OA

，
在Rt△BOE中，sinα=

BE

OB

，
∵S_△AOB=

1

2

OB•OA=9，
∴OB•OA=18，
∵A（x₁，-3）点B（x₂，-1），
∴sinα•cosα=

AC

OA

•

BE

OB

=

AC•BE

OA•OB

=

3

18

=

1

6

．

点评：此题考查了三角函数的定义、直角三角形的性质以及坐标与图形的性质．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，注意数形结合思想的应用．