Question

【题目】等腰中，，作的外接圆⊙O.

（1）如图1，点为上一点（不与A、B重合），连接AD、CD、AO，记与的交点为.

①设，若，请用含与的式子表示；

②当时，若，求的长；

（2）如图2，点为上一点（不与B、C重合），当BC=AB，AP=8时，设，求为何值时，有最大值？并请直接写出此时⊙O的半径．

Answer 1

【答案】（1）①；②；（2）PB=5时，S有最大值，此时⊙O的半径是.

【解析】

（1）①连接BO、CO，利用SSS可证明△ABO≌△ACO，可得∠BAO=∠CAO=y，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可用y表示出∠ABC，由圆周角定理可得∠DCB=∠DAB=x，根据即可得答案；

②过点作于点，根据垂径定理可得AF的长，利用勾股定理可求出OF的长，由（1）可得，由AB⊥CD可得n=90°，即可证明y=x，根据AB⊥CD，OF⊥AC可证明△AED∽△AFO，设DE=a，根据相似三角形的性质可，由∠D=∠B，∠AED=∠CEB=90°可证明△AED∽△CEB，设，根据相似三角形的性质可得，根据线段的和差关系和勾股定理列方程组可求出a、b的值，根据△AED∽△AFO即可求出AD的值；

（2）延长到，使得，过点B作BD⊥AP于D，BE⊥CP，交CP延长线于E，连接OA，作OF⊥AB于F，根据BC=AB可得三角形ABC是等边三角形，根据圆周角定理可得∠APM=60°，即可证明△APM是等边三角形，利用角的和差关系可得∠BAP=∠CAM，利用SAS可证明△BAP≌△CPM，可得BP=CM，即可得出PB+PC=AP，设，则，利用∠APB和∠BPE的正弦可用x表示出BD、BE的长，根据可得S与x的关系式，根据二次函数的性质即可求出S取最大值时x的值，利用∠BPA的余弦及勾股定理可求出AB的长，根据等边三角形的性质及垂径定理求出OA的长即可得答案.

（1）①连接BO，CO，

∵，且为公共边，

∴，

∴，

∴，

∴

∵，

∵，

∴

∴.

②过点作于点，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴△AED∽△AFO，

∴=，即，

设，则

∵，

∴△AED∽△CEB，

∴，即

设，则，

∴

解得：或，

∵a>0，b>0，

∴，即DE=，

∵△AED∽△AFO，

∴，

∴AD==3=.

（2）延长到，使得，过点B作BD⊥AP于D，BE⊥CP，交CP延长线于E，连接OA，作OF⊥AB于F，

∵BC=AB，AB=AC，

∴是等边三角形，

∴，

∴，

∴是等边三角形，

∴，

∵∠BAP+∠PAC=∠CAM+∠PAC=60°，

∴

在△BAP和△CAM中，，

∴，

∴，

∴

设，则，

∵∠APB=∠ACB=60°，∠APM=60°，

∴∠BPE=60°，

∴BE=PB·sin60°=，PD=PB·sin60°=，

∵，

∴S=PC·BE+×AP·BD=，

∴当时，即PB=5时，S有最大值，

∴BD==，PD=PB·cos60°=，

∴AD=AP-PD=，

∴AB==7，

∵△ABC是等边三角形，O为△ABC的外接圆圆心，

∴∠OAF=30°，AF=AB=，

∴OA==.

∴此时的半径是.