Question

探究一：如图1，已知正方形ABCD，E、F分别是BC、AB上的两点，且AE⊥DF．小明经探究，发现AE=DF．请你帮他写出证明过程．

探究二：如图2，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，E、G分别在边BC、AD上，F、H分别在边AB、CD上，且GE⊥FH．小明发现，GE与FH并不相等，请你帮他求出

GE

FH

的值．
探究三：小明思考这样一个问题：如图3，在正方形ABCD中，若E、G分别在边BC、AD上，F、H分别在边AB、CD上，且GE=FH，试问：GE⊥FH是否成立？若一定成立，请给予证明；若不一定成立，请画图并作出说明．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：

分析：探究一、求出∠ADF=∠BAE，∠DAF=∠ABE=90°，求出△ADF≌△DAE即可；
探究二、作GM⊥BC于M，FN⊥CD于N，证出△GME∽△FNH即可；
探究三、画出图形，即可得出答案．

解答：探究一
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAF=∠ABE=90°，AD=AB，
∴∠DAE+∠BAE=90°，
∵AE⊥DF，
∴∠DAE+∠ADF=90°，
∴∠ADF=∠BAE，
在△ADF和△BAE中，

∠ADF=∠BAE AD=AB ∠DAF=∠ABE

，
∴△ADF≌△DAE（ASA），
∴AE=DF；

探究二、
解：作GM⊥BC于M，FN⊥CD于N，如图2，
则GM=AB=3，FN=AD=4，∠GME=∠FNH=∠GOF=90°，
∴∠EGM+∠GQO=90°，∠HFN+∠FQR=90°，
∵∠FQR=∠GQO，
∴∠HFN=∠EGM，
∵∠GME=∠FNH，
∴△GME∽△FNH，
∴

GE

FH

=

GM

FN

，
又∵AB=GM=3，FN=BC=4，
∴

GE

FH

=

3

4

；

探究三、
解：不一定成立，如图3，当在GE时，GE和FH垂直，当在G′E′时，G′E′和FH就不垂直．

点评：本题考查了矩形性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．