Question

已知，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上，OA=OB，函数y=的图象与线段AB交于M点，且AM=BM．

（1）求点M的坐标；

（2）求直线AB的解析式．

Answer 1

考点：

反比例函数与一次函数的交点问题．

专题：

计算题．

分析：

（1）过点M作MC⊥x轴，MD⊥y轴，根据M为AB的中点，MC∥OB，MD∥OA，利用平行线分线段成比例得到点C和点D分别为OA与OB的中点，从而得到MC=MD，设出点M的坐标代入反比例函数解析式中，求出a的值即可得到点M的坐标；

（2）根据（1）中求出的点M的坐标得到MC与MD的长，从而求出OA与OB的长，得到点A与点B的坐标，设出一次函数的解析式，把点A与点B的坐标分别代入解析式中求出k与b的值，确定出直线AB的表达式．

解答：

解：（1）过点M作MC⊥x轴，MD⊥y轴，

∵AM=BM，

∴点M为AB的中点，

∵MC⊥x轴，MD⊥y轴，

∴MC∥OB，MD∥OA，

∴点C和点D分别为OA与OB的中点，

∴MC=MD，

则点M的坐标可以表示为（﹣a，a），

把M（﹣a，a）代入函数y=中，

解得a=2，

则点M的坐标为（﹣2，2）；

（2）∵则点M的坐标为（﹣2，2），

∴MC=2，MD=2，

∴OA=OB=2MC=4，

∴A（﹣4，0），B（0，4），

设直线AB的解析式为y=kx+b，

把点A（﹣4，0）和B（0，4）分别代入y=kx+b中得，

解得：．

则直线AB的解析式为y=x+4．

点评：

此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，平行线分线段成比例，以及中位线定理，用待定系数法确定函数的解析式，是常用的一种解题方法．同学们要熟练掌握这种方法．