Question

（b-c）²+（c-a）²+（a-b）²=（b+c-2a）²+（c+a-2b）²+（a+b-2c）²，则=________．

Answer 1

1
分析：设a-b=x，b-c=y，c-a=z，则b+c-2a=c-a-（a-b）=z-x，同理得c+a-2b=x-y，a+b-2c=y-z，于是有x²+y²+z²=（z-x）²+（x-y）²+（y-z）²，利用完全平方公式展开得到x²+y²+z²=z²-2xz+x²+x²-2xy+y²+y²-2yz+z²，整理得x²+y²+z²-2xy-2yz-2zx=0；由x+y+z=a-b+b-c+c-a=0，两边平方得（x+y+z）²=0，展开有x²+y²+z²+2xy+2yz+2zx=0，于是得到x²+y²+z²=0，则x=y=z=0，易得a=b=c，然后把a=b=c代入原式计算即可得到答案．
解答：设a-b=x，b-c=y，c-a=z，
∵（b-c）²+（c-a）²+（a-b）²=（b+c-2a）²+（c+a-2b）²+（a+b-2c）²，
∴x²+y²+z²=（z-x）²+（x-y）²+（y-z）²，
∴x²+y²+z²=z²-2xz+x²+x²-2xy+y²+y²-2yz+z²，
∴x²+y²+z²-2xy-2yz-2zx=0，
又∵x+y+z=a-b+b-c+c-a=0，
∴（x+y+z）²=0，
∴x²+y²+z²+2xy+2yz+2zx=0．
∴x²+y²+z²=0，
∴x=y=z=0，
∴a=b=c，
∴原式=
=
=1．
故答案为1．
点评：本题考查了完全平方公式：a²±2ab+b²=（a±b）²．也考查了完全平方公式的灵活运用和换元法以及几个非负数的和的性质．