Question

【题目】如图，在正方形ABCD中，E、F分别是CB，AB的中点，连接CF并延长，与DA的延长线交于点M，连接DE交CF于点P，连接AP，则有下列结论：①∠BCF＝∠CDE；②AP＝AD：③CM＝CD+DE；④S△CDM＝5S四边形EPFB，其中正确的结论有（　　）

A.1个B.2个C.3个D.4个

Answer 1

【答案】C

【解析】

根据正方形的性质，即可得∠DCE=∠B=90°，CD=BC=AB，又由E、F分别是CB，AB的中点，利用SAS即可判定△DCE≌△CBF，根据全等三角形的对应边相等，即可判定①正确；根据全等三角形对应角相等，即可得DE⊥CF，再利用ASA证得△BCF≌△AMF，即可得到AD=AM，然后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可判定②正确；由△DCE≌△CBF，可得CF=DM，根据直角三角形的性质，可得FM＞AM，即FM＞CD，可判定③错误；利用相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可判定④正确．

解：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠DCE＝∠B＝90°，CD＝BC＝AB，

∵E、F分别是CB，AB的中点，

∴BF＝AB，CE＝BC，

∴BF＝CE，

∴△DCE≌△CBF（SAS），

∴∠BCF＝∠CDE，

故①正确；

∵∠CDE+∠CEP＝90°，

∴∠BCF+∠CEP＝90°，

∴∠CPE＝90°，

即CF⊥DE，

∵BF＝AF，∠B＝∠BAM＝90°，∠BFC＝∠AFM，

∴△BCF≌△AMF（ASA），

∴AM＝BC，

∴AD＝AM，

∴AP＝AD，

故②正确；

∵△DCE≌△CBF，

∴CF＝DE，

∵∠FAM＝90°，

∴FM＞AM，

即FM＞CD，

∴CM＝CF+FM＝DE+FM＞CD+DE；

故③错误；

设CE＝a，S△CDM＝b，则BC＝2a，AB＝AD＝AM＝CD＝2a，BF＝AF＝a，

∴MD＝AD+AM＝4a，

∴CF＝，

∵∠BCF＝∠PCE，∠B＝∠CPE＝90°，

∴△CPE∽△CBF，

∴，

∴S△CDM＝5b，

∴S四边形EPFB＝4b，

∵BC∥AD，

∴△CPE∽△MPD，

∴，

∴S△MPD＝16b，

∵，

∴S△CPD＝4b，

∴S△CDM＝S△CPD+S△MPD＝4b+16b＝20b，

∴S△CDM＝5S四边形EPFB．

故④正确．

∴其中正确的结论有①②④．

故选：C．