Question

【题目】如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝5，点D为线段AC上一动点，将线段BD绕点D逆时针旋转90°，点B的对应点为E，连接AE，则AE长的最小值为_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

由旋转的性质可知BD＝DE，∠C＝90°，则容易想到构造一个直角三角形与Rt△BCD全等，即过E点作EH⊥AD于点H，设CD＝x，则可用x表示AE的长，从而判断什么时候AE取得最小值．

设CD＝x，则AD＝5﹣x，

过点E作EH⊥AD于点H，如图：

由旋转的性质可知BD＝DE，

∵∠ADE+∠BDC＝90°，∠BDC+∠CBD＝90°，

∴∠ADE＝∠CBD，

又∵∠EHD＝∠C，

∴△BCD≌△DHE，

∴EH＝CD＝x，DH＝BC＝3．

∵AD＝5﹣x，

∴AH＝AD﹣DH＝5﹣x﹣3＝2﹣x，

∵在Rt△AEH中，AE2＝AH2+EH2＝（2﹣x）2+x2＝2x2+4x+4＝2（x﹣1）2+2，

所以当x＝1时，AE2取得最小值2，即AE取得最小值．

故答案是：．