题目内容
已知，如图1，抛物线y=ax2+bx过点A（6，3），且对称轴为直线
．点B为直线OA下方的抛物线上一动点，点B的横坐标为m．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若△OAB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；
（3）如图2，过点B作直线BC∥y轴，交线段OA于点C，在抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD是以D为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点B的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）由题知：
解之，得
，
∴该抛物线的解析式为：
．
（2）过点B作BH∥y轴，交OA于点H，
由题知直线OA为：
，
∴设点
，点
，∴
，
∴S=S△OBH+S△ABH=
，
=
，
∴当m=3时，
；
（3）存在，点B为（1+
，
）或（5-
，
），
理由如下：设在抛物线的对称轴
上存在点D满足题意，
过点D作DQ⊥BC于点Q，
则由（2）有点
，点B
，
∵△BCD是以D为直角顶点的等腰直角三角形
∴
，即是：
且（0＜m＜6），
若
，解之：
（舍去），
，
时，
，
∴点B（1+，），
若
，解之：
（舍去），
当
时，
，
∴
，
综上，满足条件的点B为（1+，）或（5-，）．
分析：（1）根据抛物线y=ax2+bx过点A（6，3），且对称轴为直线，利用待定系数法求解即可；
（2）过点B作BH∥y轴，交OA于点H，将△OAB分成△OBH和△ABH两部分求解；
（3）假设存在满足题意的D点，再根据△BCD是以D为直角顶点的等腰直角三角形这一条件解答．
点评：本题考查了二次函数的知识，是一道综合题，难度较大，需要对各部分知识熟练掌握并灵活应用．
解之，得
，∴该抛物线的解析式为：
．（2）过点B作BH∥y轴，交OA于点H，
由题知直线OA为：
，∴设点
，点
，∴
，∴S=S△OBH+S△ABH=
，=
，∴当m=3时，
；
（3）存在，点B为（1+
，
）或（5-
，
），理由如下：设在抛物线的对称轴
上存在点D满足题意，过点D作DQ⊥BC于点Q，
则由（2）有点
，点B
，
∵△BCD是以D为直角顶点的等腰直角三角形
∴
，即是：
且（0＜m＜6），若
，解之：
（舍去），
，
时，
，∴点B（1+
，），若
，解之：
（舍去），当
时，
，∴
，综上，满足条件的点B为（1+
，）或（5-，）．分析：（1）根据抛物线y=ax2+bx过点A（6，3），且对称轴为直线
，利用待定系数法求解即可；（2）过点B作BH∥y轴，交OA于点H，将△OAB分成△OBH和△ABH两部分求解；
（3）假设存在满足题意的D点，再根据△BCD是以D为直角顶点的等腰直角三角形这一条件解答．
点评：本题考查了二次函数的知识，是一道综合题，难度较大，需要对各部分知识熟练掌握并灵活应用．
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