Question

如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax²+bx+30的图象经过4（3，0），B（5，0）两点，顶点为C．
（1）求此二次函数的表达式及点C的坐标；
（2）若（1）中的二次函数图象与y，轴交于点D，在y轴正半轴上有一点P（0，n），并且以点P、D、A为顶点的三角形与以点A、C、D为顶点的三角形相似，求点P的坐标；
（3）在（2）的前提下，二次函数图象上是否存在点Q，使四边形PABQ为平行四边形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）把A，B两点的坐标代入函数式求出a，b即可求出二次函数表达式及C点坐标；
（2）作辅助线连接DC，DA，PA，可看出△DPA∽△CAD，即AP∥DC，过C点向y轴引垂线垂足为H，推出△DCH∽△PAO结合坐标求出线段长度根据相似三角形知识利用对应边成比例做题即可；
（3）根据平行四边形性质结合图先得出PQ∥AB，PQ=AB，得出Q坐标，代入二次函数式看等式是否相等即可．

解答：解：（1）把A（3，0），B（5，0）两点代入y=ax²+bx+30可得

9a+3b+30=0 25a+5b+30=0

解方程组可得

a=2 b=-16

所以函数表达式为y=2x²-16x+30．
所以对称轴为x=4，
将x=4代入函数可得y=-2，
所以C点坐标为（4，-2）；

（2）由题意可知D点坐标为（0，30），连接DC，DA，PA，可看出若△DPA∽△CAD，则∠PAD=∠ADC，

即AP∥DC，过C点向y轴引垂线垂足为H，
即△DCH∽△PAO?

CH

DH

=

AO

PO

由图可知DH=32，CH=4，AO=3
得OP=24，
即P点坐标为（0，24）；

（3）若四边形PABQ为平行四边形，那么AB∥PQ，AB=PQ=2，
所以Q点坐标为（2，24），

将Q（2，24）代入二次函数式左边=24，右边=6，左边≠右边，
所以二次函数图象上不存在点Q使得四边形PABQ为平行四边形．

点评：本题主要考查了二次函数及其图象的性质和应用，注意数形结合以及三角形知识的应用．