Question

如图，在正方形ABCD中，BE平分∠DBC，交DC于点E，延长BC到点F，使CF=CE，连接DF，交BE的延长线于点G．
（1）求证：△BCE≌△DCF；
（2）求证：BF=BD；
（3）已知AB=2，O是BD的中点，连结OG交CD于点M，求ME的长．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴BC=DC，∠BCD=90°，
在△BCE和△DCF中
，
∴△BCE≌△DCF（SAS）；

（2）∵△BCE≌△DCF，
∴∠CBE=∠CDF，
∵∠CBF+∠CEB=90°，
而∠CEB=∠DEG，
∴∠CDF+∠DEG=90°，
∴∠DGE=90°，即BG⊥DF，
∵BE平分∠DBC，
∴△BDF为等腰三角形，
∴BD=BF；

（3）∵AB=2，
∴BD=2，
∴BF=2，
∵O是BD的中点，BG垂直平分DF，
∴OG为△DBF的中位线，OM为△DCF的中位线，
∴OG=BF=，OM=BC=1，
∴MG=OG-OM=-1，
∵MG∥BC，
∴△MGE∽△CBE，
∴MG：BC=ME：EC，即（-1）：2=ME：EC，
∴EC=ME=2（+1）ME，
∵MC=ME+EC=1，
∴ME+2（+1）ME=1，
∴ME=3-2．
分析：（1）根据正方形的性质得BC=DC，∠BCD=90°，然后根据“SAS”可判断△BCE≌△DCF；
（2）根据△BCE≌△DCF得到∠CBE=∠CDF，而∠CBF+∠CEB=90°，∠CEB=∠DEG，则∠CDF+∠DEG=90°，所以∠DGE=90°，即BG⊥DF，由于BE平分∠DBC，根据等腰三角形的判定方法得到△BDF为等腰三角形，则BD=BF；
（3）根据正方形的性质由AB=2得BD=BF=2，由O是BD的中点，BG垂直平分DF得到OG为△DBF的中位线，OM为△DCF的中位线，则OG=，OM=1，所以MG=-1，再利用MG∥BC判断△MGE∽△CBE，得到MG：BC=ME：EC，则EC=2（+1）ME，然后利用ME+EC=1进行计算．
点评：本题考查了三角形相似的判定与性质：平行于三角形一边的直线与其他两边所截得的三角形与原三角形相似；三角形相似的对应角相等，对应边的比相等．也考查了三角形全等的判定与性质、正方形的性质以及三角形中位线的性质．