Question

如图，已知二次函数y=

1

2

x2+bx+c的图象经过点A（4，0）和点B（3，-2），点C是函数图象与y轴的公共点、过点C作直线CE∥AB．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求直线CE的表达式；
（3）如果点D在直线CE上，且四边形ABCD是等腰梯形，求点D的坐标．

Answer 1

分析：（1）由二次函数y=

1

2

x2+bx+c的图象经过点A（4，0）和点B（3，-2），两点代入关系式解得b、c．（2）直线CE∥AB，故设直线CE的表达式为y=2x+m，又经过C点，求出m．（3）设点D的坐标为（x，2x-2），四边形ABCD是等腰梯形，可知AD=BC，故能解出x．

解答：解：（1）∵二次函数y=

1

2

x2+bx+c的图象经过点A（4，0）和点B（3，-2），
∴

0=8+4b+c -2= 9 2 +3b+c

，
解得

b=- 3 2 c=-2

，
∴所求二次函数的解析式为y=

1

2

x2-

3

2

x-2．

（2）直线AB的表达式为y=2x-8，
∵CE∥AB，
∴设直线CE的表达式为y=2x+m．
又∵直线CE经过点C（0，-2），
∴直线CE的表达式为y=2x-2．

（3）设点D的坐标为（x，2x-2）．
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴AD=BC，即

(x-4)2+(2x-2)2

=3．
解得x1=

11

5

，x₂=1（不符合题意，舍去）．
∴点D的坐标为（

11

5

，

12

5

）．

点评：本题是二次函数的综合题，要求二次函数的解析式，求直线方程等．此题比较简单．