Question

已知抛物线y=ax²+bx+c（a＞0）的对称轴为x=-1，交x轴的一个交点为（x₁，0），且0＜x₁＜1，则下列结论：①b＞0，c＜0；②a-b+c＞0；③b＜a；④3a+c＞0；⑤9a-3b+c＞0，其中正确的命题有几个（　　）

• A、2
• B、3
• C、4
• D、5

Answer 1

分析：先充分挖掘图象所给出的信息，包括对称轴、开口方向、与坐标轴的交点、顶点位置等，然后根据二次函数图象的性质解题．

解答：解：如图所示：①∵开口向上，
∴a＞0，
又∵对称轴在y轴左侧，
∴-

b

2a

＜0，
∴b＞0，
又∵图象与y轴交于负半轴，
∴c＜0，正确．
②由图，当x=-1时，y＜0，
把x=-1代入解析式得：a-b+c＜0，错误．
③∵对称轴在x=-

1

2

左侧，
∴-

b

2a

＜-

1

2

，
∴

b

a

＞1，
∴b＞a，错误．
④由图，x₁x₂＞-3×1=-3；根据根与系数的关系，x₁x₂=

c

a

，
于是

c

a

＞-3，故3a+c＞0，正确．
⑤由图，当x=-3时，y＞0，
把x=-3代入解析式得：9a-3b+c＞0，正确．
所以其中正确的有①④⑤，故选B．

点评：二次函数y=ax²+bx+c系数符号的确定：
（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0，否则a＜0；
（2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=-

b

2a

判断符号；
（3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0，否则c＜0；
（4）b²-4ac由抛物线与x轴交点的个数确定：2个交点，b²-4ac＞0；1个交点，b²-4ac=0；没有交点，b²-4ac＜0．