Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的直线交x轴于C，且面积为10.

（1）求点C的坐标及直线BC的解析式；

（2）如图1，设点F为线段AB中点，点G为y轴上一动点，连接FG，以FG为边向FG右侧作正方形FGQP，在G点的运动过程中，当顶点Q落在直线BC上时，求点G的坐标；

（3）如图2，若M为线段BC上一点，且满足，点E为直线AM上一动点，在x轴上是否存在点D，使以点D、E、B、C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）C(3,0)；y=；（2）G点坐标为G(0,),G(0,)；（3）D点坐标为(,0)或 (,0) 或(,0)

【解析】

（1）利用三角形面积公式求出点C坐标，再利用待定系数法求解析式即可；

（2）分两种情况：①当n＞2时，如图2-1中，点Q落在BC上，过G点作直线平行于x轴，过点F、Q作该直线的垂线，垂足分别为M、N，求出Q(n-2，n-1).②当n＜2时，如图2-2，同理可得Q(2-n，n+1)，利用待定系数法求解即可；

（3）利用三角形面积公式求出M坐标，从而求出直线AM的解析式，作BE∥OC交AM于E，当CD=BE时可得四边形BCDE，四边形BECD1是平行四边形，然后进一步得出各点坐标.

（1）∵直线y=2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，

∴A(-2,0)，B(0,4)，

∴OA=2，OB=4，

∵S△ABC=ACOB=10，

∴AC=5，

∴OC=3，

∴C(3,0)，

设直线BC解析式为y=kx+b，

则：3k+b=0，b=4，

∴k=，

∴直线BC解析式为y=；

（2）∵FA=FB，A(-2,0)，B(0,4)，

∴F(-1,2)，设G(0,n)，

当n＞2时，如图2-1所示，点Q落在BC上时，过G作直线平行于x轴，过点F、Q作该直线的垂线，垂足分别为M、N，

∵四边形FGQP是正方形，

∴△FMG≌△GNQ，

∴MG=NQ=1，FM=GN=n-2，

∴Q(n-2，n-1)，

∵Q点在直线y=上，

∴n-1=，

∴n=，

∴G(0,),

当n＜2时，如图2-2，同理可得：Q(2-n，n+1)，

∵Q点在直线y=上，

∴n+1=，

∴n=，

∴G(0,),

综上所述，G点坐标为G(0,),G(0,)；

（3）如图3，设M(m,)，

∵，

∴，

∴，

解得，

∴M(,)，

∴直线AM的解析式为，

作BE∥OC交直线AM与E，此时E(,4)，

当CD=BE时，四边形BCDE，四边形BECD1是平行四边形，

可得：D(,0)，D1(,0)，

根据对称性可得D关于A的对称点D2(,0)也符合条件，

综上所述，D点坐标为：(,0)或 (,0) 或(,0)