Question

如图，在正方形ABCD中，点E是AD的中点，连接BE、CE，点F是CE的中点，连接DF、BF，点M是BF上一点且=，过点M做MN⊥BC于点N，连接FN．下列结论中：
①BE=CE；②∠BEF=∠DFE；③MN=AB；④=．
其中正确结论的个数是（ ）

A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

Answer 1

【答案】分析：设AE=a，则DE=a，AB=BC=CD=DA=2a．在正方形ABCD中，根据勾股定理可得BE=CE，故①正确；过点F作FG⊥AD于G，FG交BC于H．由F是CE的中点，得出EG=DG=DE=a，GF=CD=a．再根据正切函数的定义可得tan∠AEB=tan∠GDF=2，则∠AEB=∠GDF，BE∥DF，从而有∠BEF=∠DFE，故②正确；由△EFG≌△CFH，得出FG=FH=a，由MN∥FH，根据平行线分线段成比例定理，可得MN=FH=a，则MN=AB，故③正确；分别计算S_△FMN与S_{四边形FEBN}，即可得出==，故④错误．
解答：解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，AB=BC=CD=DA，AD∥BC．
设AE=a，则DE=a，AB=BC=CD=DA=2a．
在△ABE中，由勾股定理，得BE=a，
在△CDE中，由勾股定理，得CE=a，
∴BE=CE，故①正确；
过点F作FG⊥AD于G，FG交BC于H．
∵AD∥BC，FG⊥AD，∴GH⊥BC．
∵FG∥CD，点F是CE的中点，
∴EG=DG=DE=a，GF=CD=a．
在直角△ABE中，∵tan∠AEB===2，
在直角△GFD中，∵tan∠GDF===2，
∴tan∠AEB=tan∠GDF，
∵0°＜∠AEB＜90°，0°＜∠GDF＜90°，
∴∠AEB=∠GDF，
∴BE∥DF，
∴∠BEF=∠DFE，故②正确；
易证△EFG≌△CFH，则FG=FH=a，EG=CH=a．
∵GH∥CD，GD∥HC，∠CDA=90°，
∴四边形CDGH是矩形，
∴CH=DG=a，
∴BH=BC-CH=a．
∵MN⊥BC，GH⊥BC，
∴MN∥FH，
∴===，
∴MN=FH=a，BN=BH=a，
∴MN=AB，故③正确；
∵BN=CH=a，
∴NH=BC-BN-CH=a，
∴S_△FMN=MN•NH=×a×a=a²，
S_{四边形FEBN}=S_{正方形ABCD}-S_△ABE-S_△CDE-S_△CNF=4a²-•2a•a-•2a•a-•a•a=a²．
∴==，故④错误．
故选C．
点评：本题主要考查了正方形的性质，全等三角形、相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，作出辅助线是解题的关键，设辅助未知数AE=a可使问题简化．