Question

【题目】如图，已知是的外接圆，AB是的直径，D是AB延长线的一点， 交DC的延长线于 于F，且．

求证：DE是的切线；

若，求AE和BC的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2） ，

【解析】试题分析：（1）要证DE是⊙O的切线，只要连接OC，再证∠DCO=90°即可；

（2）先证明∠D=30°，∠COD=60°，得到AE的长，通过证明△OBC是等边三角形，得到BC的长．

试题解析：证明：（1）连接OC．∵AE⊥CD，CF⊥AB，又CE=CF，∴∠1=∠2．

∵OA=OC，∴∠2=∠3，∠1=∠3，∴OC∥AE，∴OC⊥CD，∴DE是⊙O的切线．

（2）∵AB=6，∴OB=OC=AB=3．

在Rt△OCD中，OD=OB+BD=6，OC=3，∴∠D=30°，∠COD=60°．

在Rt△ADE中，AD=AB+BD=9，∴AE=AD=．

在△OBC中，∵∠COD=60°，OB=OC，∴△OBC是等边三角形，∴BC=OB=3．