Question

【题目】与都是等腰直角三角形，且，，连接DC，点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点

（1）如图1，当点D、E分别在边AB、AC上，线段PM与PN的数量关系是______，位置关系是______；

（2）把等腰绕点A旋转到如图2的位置，连接MN，判断的形状，并说明理由；

（3）把等腰绕点A在平面内任意旋转，，，请直接写出的面积S的变化范围．

Answer 1

【答案】（1），；（2）是等腰直角三角形，见解析；（3）.

【解析】

（1）利用三角形的中位线得出PM=CE，PN=BD，进而判断出BD=CE，即可得出结论，再利用三角形的中位线得出PM∥CE得出∠DPM=∠DCA，最后用互余即可得出结论；

（2）先判断出△ABD≌△ACE，得出BD=CE，同（1）的方法得出PM=BD，PN=BD，即可得出PM=PN，同（1）的方法即可得出结论；

（3）先判断出BD最大时，△PMN的面积最大，而BD最大是AB+AD=14，再判断出BD最小时，△PMN最小，即可得出结论．

解：（1）∵点P，N是BC，CD的中点，

∴PN∥BD，PN=BD，

∵点P，M是CD，DE的中点，

∴PM∥CE，PM=CE，

∵AB=AC，AD=AE，

∴BD=CE，

∴PM=PN，

∵PN∥BD，

∴∠DPN=∠ADC，

∵PM∥CE，

∴∠DPM=∠DCA，

∵∠BAC=90°，

∴∠ADC+∠ACD=90°，

∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCA+∠ADC=90°，

∴PM⊥PN，

故答案为：PM=PN，PM⊥PN；

（2）是等腰直角三角形．

由旋转知，，

∴，，

∴（SAS），

∴，，

利用三角形的中位线得，，，

∴，

∴是等腰三角形，

同（1）的方法得，，

∴，

同（1）的方法得，，

∴，

∵，

∴

，

∵，

∴，

∴，

∴是等腰直角三角形；

（3）；

由（2）知，是等腰直角三角形，，

∴PM最大时，面积最大，PM最小时，面积最小

∴点D在BA的延长线上，的面积最大，

∴，

∴

∴，

当点D在线段AB上时，的面积最小，

∴，

∴，

，

∴.