Question

如图，在△ABC中，AB=2，AC=BC，CD⊥AB，垂足是D，△BCE与△BCD是关于BC成轴对称的，且恰好使A、C、E在一条直线上．求四边形BDCE的面积．

Answer 1

解法1：∵AC=BC，CD⊥AB于D，
∴∠A=∠CBA，∠ACD=∠BCD，AD=BD=1，
根据已知条件有Rt△BCD≌Rt△BCE，
∴∠BCD=∠BCE，
∴∠ACD=∠BCD=∠BCE，
而A、C、E在一条直线上，
∴∠ACD+∠BCD+∠BCE=180°，
∴∠ACD=∠BCD=∠BCE=60°，
进而∠A=30°，
于是在Rt△ACD中，AC=2CD，AC²=CD²+AD²，
∴4CD²=CD²+1，CD=

3

3

，
因此四边形BDCE的面积=2S_△BCD=2?

1

2

?BD?CD=

3

3

；

解法2：由对称性可知△CDB≌△CEB，
又AC=CB，CD⊥AB，
∴△ACD≌△CDB，
故S_{四边形BDCE}=

2

3

S_△ABE，
∵Rt△ABE中，BE=BD=1，AB=2，
∴∠A=30°，AE=

3

，
因此S_△ABE=

1

2

×

3

×1=

3

2

，即S_{四边形BDCE}=

3

3

．