Question

如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线与x轴，y轴分别交于B，C两点，抛物线经过B，C两点，与x轴的另一个交点为点A，动点P从点A出发沿AB以每秒3个单位长度的速度向点B运动，运动时间为t（0＜t＜5）秒．

（1）求抛物线的解析式及点A的坐标；

（2）以OC为直径的⊙O′与BC交于点M，当t为何值时，PM与⊙O′相切？请说明理由．

（3）在点P从点A出发的同时，动点Q从点B出发沿BC以每秒3个单位长度的速度向点C运动，动点N从点C出发沿CA以每秒个单位长度的速度向点A运动，运动时间和点P相同．

①记△BPQ的面积为S，当t为何值时，S最大，最大值是多少？

②是否存在△NCQ为直角三角形的情形？若存在，求出相应的t值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解答：

解：（1）在y=﹣x+9 中，令x=0，得y=9；令y=0，得x=12． ∴C（0，9），B（12，0）． 又抛物线经过B，C两点，∴，解得 ∴y=﹣x2+x+9． 于是令y=0，得﹣x2+x+9=0， 解得x1=﹣3，x2=12．∴A（﹣3，0）． （2）当t=3秒时，PM与⊙O′相切．连接OM． ∵OC是⊙O′的直径，∴∠OMC=90°．∴∠OMB=90°． ∵O′O是⊙O′的半径，O′O⊥OP，∴OP是⊙O′的切线． 而PM是⊙O′的切线，∴PM=PO．∴∠POM=∠PMO． 又∵∠POM+∠OBM=90°，∠PMO+∠PMB=90°，∴∠PMB=∠OBM．∴PM=PB． ∴PO=PB=OB=6．∴PA=OA+PO=3+6=9．此时t=3（秒）． ∴当t=3秒，PM与⊙O′相切． （3）①过点Q作QD⊥OB于点D． ∵OC⊥OB，∴QD∥OC．∴△BQD∽△BCO．∴=． 又∵OC=9，BQ=3t，BC=15，∴=，解得QD=t． ∴S△BPQ=BP•QD=．即S=． S=．故当时，S最大，最大值为． ②存在△NCQ为直角三角形的情形． ∵BC=BA=15，∴∠BCA=∠BAC，即∠NCM=∠CAO． ∴△NCQ欲为直角三角形，∠NCQ≠90°，只存在∠NQC=90°和∠QNC=90°两种情况． 当∠NQC=90°时，∠NQC=∠COA=90°，∠NCQ=∠CAO， ∴△NCQ∽△CAO．∴=．∴=，解得t=． 当∠QNC=90°时，∠QNC=∠COA=90°，∠QCN=∠CAO， ∴△QCN∽△CAO．∴=．∴=，解得． 综上，存在△NCQ为直角三角形的情形，t的值为和．